Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 50, 54, 14, 34, 50, 24, 48.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt onder 80?

μ = 50σ = 15x = 80

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Er wordt 8 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 8

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 9 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,4. Wat is de kans P op precies 4 goede antwoorden?

n = 9p = 0,4k = 4

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,7887 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,7887

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 60% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 100 puntenσ = 15 punten60%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 80 telefoons, gemiddelde 40,5 h, bekende standaardafwijking 3 h. Model 2: 60 telefoons, gemiddelde 25,5 h, bekende standaardafwijking 3 h. Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 40,5 hσ₁ = 3 hn₂ = 60x̄₂ = 25,5 hσ₂ = 3 h99%

E = h

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 8 proefvelden, gemiddelde opbrengst 90,5 kg, standaardafwijking 8 kg. Groep 2: 6 proefvelden, gemiddelde 96 kg, standaardafwijking 6 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 90,5s₁ = 8n₂ = 6x̄₂ = 96s₂ = 699%t(12) = 3,055

bovengrens = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 11 studenten, gemiddelde score 63, standaardafwijking 4,5. Groep 2: 15 studenten, gemiddelde score 60,5, standaardafwijking 5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 11x̄₁ = 63s₁ = 4,5n₂ = 15x̄₂ = 60,5s₂ = 5

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 52 van de 80 patiënten met behandeling A en 43 van de 80 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 52n₁ = 80x₂ = 43n₂ = 80

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (2,5, 20) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 20)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 15,4

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 274/7 = 39,14

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 10,86² + 14,86² + (−25,14)² + (−5,143)² + 10,86² + (−15,14)² + 8,857² = 1423

Standaardafwijking

s = √(1423/6) = 15,4

Antwoord

s = 15,4

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,9772

Standaardiseren

z = 2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Antwoord

P = 0,9772

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,7674

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Antwoord

P = 0,7674

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2508

Binomiale formule

P(X = 4) = 126·0,4⁴·0,6⁵ = 126·0,0256·0,07776 = 0,2508

Antwoord

P = 0,2508

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 1,25

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,7887)/2 = 0,8944

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,8944 in de tabel en lees z af.

z = 1,25

Antwoord

z = 1,25

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 96,3 punten

Oppervlak links

Φ(z) = 0,4

z uit de tabel

z ≈ −0,25

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 100 − 0,25·15 = 96,3 punten

Antwoord

x = 96,3 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 1,32 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 40,5 − 25,5 = 15

Standaardfout

SE = √(3²/80 + 3²/60) = 0,5123

Foutmarge

E = 2,576·0,5123 = 1,32

Antwoord

E = 1,32 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 6,436 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (7·8² + 5·6²)/12 = 52,33

s_p = 7,234

Foutmarge

E = 3,055·7,234·√(1/8 + 1/6) = 11,94

Interval

−5,5 ± 11,94 → [−17,44, 6,436]

Antwoord

bovengrens = 6,436 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,313

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (10·4,5² + 14·5²)/24 = 23,02

s_p = 4,798

Standaardfout

SE = 4,798·√(1/11 + 1/15) = 1,905

Toetsingsgrootheid

t = (63 − 60,5)/1,905 = 1,313

Antwoord

t = 1,313

Bij df = 24 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,064; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 1,449

Steekproeffracties

p̂₁ = 52/80 = 0,65

p̂₂ = 43/80 = 0,5375

p̂ = 95/160 = 0,5938

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,5938·0,4063·(1/80 + 1/80)) = 0,07765

Toetsingsgrootheid

z = (0,65 − 0,5375)/0,07765 = 1,449

Antwoord

z = 1,449

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9401

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 346/5 = 69,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 354,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 56/√(10·354,8) = 0,9401

Antwoord

r = 0,9401

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −2,438

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 124/6 = 20,67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

Regressielijn

b = −31/17,5 = −1,771

a = 20,67 − (−1,771)·3,5 = 26,87

ŷ = 26,87 − 1,771·x

Voorspelde waarde

ŷ = 26,87 + (−1,771)·2,5 = 22,44

Residu

e = 20 − 22,44 = −2,438

Antwoord

e = −2,438

Het punt ligt onder de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1