Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 40, 10, 21, 35, 53, 38, 16.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 25. Welk deel P van de waarden ligt onder 515?

μ = 500σ = 25x = 515

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,3, 0,15, 0,05, 0,15

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €1 inzet. Je wint €4 met kans 0,2 en €20 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €1€4: p = 0,2€20: p = 0,05

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van dozen zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 12 kg en standaardafwijking 0,8 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 12 ervan groter is dan 149,5 kg. Rond z af op twee decimalen.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12> 149,5 kg

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 90% ervan ligt (het 90e percentiel).

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 20 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 10 en standaardafwijking 6,9. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 20d̄ = 10s_d = 6,995%t(19) = 2,093

bovengrens = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 16 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 6 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 15 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 6,262 en 2,5% boven 27,488.

n = 16s = 6 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 36 studenten heeft een gemiddelde score van 118,2 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118,2s = 12n = 36

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft? De standaardafwijking is 20. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 20E = 195%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3,5, 18) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 18)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 15,24

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 213/7 = 30,43

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 9,571² + (−20,43)² + (−9,429)² + 4,571² + 22,57² + 7,571² + (−14,43)² = 1394

Standaardafwijking

s = √(1394/6) = 15,24

Antwoord

s = 15,24

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,7257

Standaardiseren

z = 0,6

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Antwoord

P = 0,7257

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,927

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,05 + 4·0,15 = 1,35

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,05 + 16·0,15 = 3,75

Variantie

Var(X) = 3,75 − 1,35² = 1,927

Antwoord

Var(X) = 1,927

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 0,8 €

Netto-uitkomsten

G: 3 (p = 0,2), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,75)

Verwachtingswaarde

E(G) = 3·0,2 + 19·0,05 − 1·0,75 = 0,8 €

Antwoord

E(G) = 0,8 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,02385

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 144 kg, σ_T = 0,8·√12 = 2,771 kg

Standaardiseren

z = (149,5 − 144)/2,771 = 1,98

Kansrekening

P = 1 − Φ(1,98) = 0,02385

Antwoord

P = 0,02385

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 39,69 min

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Terug naar x

x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min

Antwoord

x = 39,69 min

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 13,23 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 19, t = 2,093

Foutmarge

E = 2,093·6,9/√20 = 3,229

Interval

10 ± 3,229 → [6,771, 13,23]

Antwoord

bovengrens = 13,23 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 4,432 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 15·6² = 540

Grenzen voor σ²

540/27,488 = 19,64

540/6,262 = 86,23

Grens voor σ

σ = √19,64 = 4,432 µm

Antwoord

σ = 4,432 µm

95%-interval voor σ: [4,432, 9,286] µm.

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −0,9

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Toetsingsgrootheid

t = (118,2 − 120)/2 = −0,9

Antwoord

t = −0,9

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 1537

n oplossen

n = (1,96·20/1)² = 1537

Naar boven afronden

n = 1537

Antwoord

n = 1537

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,8991

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 69/6 = 11,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 117

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 217,5

Determinatiecoëfficiënt

r² = 117²/(70·217,5) = 0,8991

Antwoord

r² = 0,8991

Ongeveer 89,91% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −2,25

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 106/5 = 21,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

Regressielijn

b = −19/10 = −1,9

a = 21,2 − (−1,9)·3 = 26,9

ŷ = 26,9 − 1,9·x

Voorspelde waarde

ŷ = 26,9 + (−1,9)·3,5 = 20,25

Residu

e = 18 − 20,25 = −2,25

Antwoord

e = −2,25

Het punt ligt onder de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1