Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 55, 26, 60, 11, 22.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt onder 195?

μ = 170σ = 20x = 195

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,35, 0,35, 0,05

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 7 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,25. Wat is de kans P op precies 4 goede antwoorden?

n = 7p = 0,25k = 4

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van zakken cement zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 kg en standaardafwijking 0,5 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 10 ervan groter is dan 248,4 kg. Rond z af op twee decimalen.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10> 248,4 kg

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 70% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 500 hσ = 40 h70%

x = h

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 30 items heeft gemiddelde 108,5 en standaardafwijking s = 4. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 30x̄ = 108,5s = 490%t(29) = 1,699

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Over de fractie defecte producten is vooraf niets bekend. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,05 heeft?

p = 0,5E = 0,0595%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 15 studenten, gemiddelde score 25,5, standaardafwijking 5. Groep 2: 7 studenten, gemiddelde score 32,9, standaardafwijking 8,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 15x̄₁ = 25,5s₁ = 5n₂ = 7x̄₂ = 32,9s₂ = 8,5

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 90 %. De standaardafwijking is 14. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,01onderscheidend vermogen = 90%δ = 5σ = 14z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 30Σy = 380Σx² = 220Σy² = 30642Σxy = 2544

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 24?

n = 5ŷ = 24

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 21,51

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 174/5 = 34,8

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 20,2² + (−8,8)² + 25,2² + (−23,8)² + (−12,8)² = 1851

Standaardafwijking

s = √(1851/4) = 21,51

Antwoord

s = 21,51

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,8944

Standaardiseren

z = 1,25

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Antwoord

P = 0,8944

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 0,76

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,35 + 4·0,05 = 2,2

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,35 + 16·0,05 = 5,6

Variantie

Var(X) = 5,6 − 2,2² = 0,76

Antwoord

Var(X) = 0,76

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,05768

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 4) = 35·0,25⁴·0,75³ = 35·0,003906·0,4219 = 0,05768

Antwoord

P = 0,05768

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8438

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 250 kg, σ_T = 0,5·√10 = 1,581 kg

Standaardiseren

z = (248,4 − 250)/1,581 = −1,01

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1,01) = 0,8438

Antwoord

P = 0,8438

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 479 h

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,3

z uit de tabel

z ≈ −0,52

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 500 − 0,52·40 = 479 h

Antwoord

x = 479 h

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 107,3

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 29, t = 1,699

Foutmarge

E = 1,699·4/√30 = 1,241

Interval

108,5 ± 1,241 → [107,3, 109,7]

Antwoord

ondergrens = 107,3

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 385

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 1,96²·0,5·0,5/0,05² = 384,2

Naar boven afronden

n = 385

Antwoord

n = 385

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −2,583

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (14·5² + 6·8,5²)/20 = 39,17

s_p = 6,259

Standaardfout

SE = 6,259·√(1/15 + 1/7) = 2,865

Toetsingsgrootheid

t = (25,5 − 32,9)/2,865 = −2,583

Antwoord

t = −2,583

Bij df = 20 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,086; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 103

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((2,326 + 1,282)·14/5)² = 102,1

Naar boven afronden

n = 103

Antwoord

n = 103

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9944

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 2544 − 30·380/5 = 264

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 30642 − 380²/5 = 1762

Correlatiecoëfficiënt

r = 264/√(40·1762) = 0,9944

Antwoord

r = 0,9944

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 2,333

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 112/5 = 22,4

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

Regressielijn

b = −24/10 = −2,4

a = 22,4 − (−2,4)·3 = 29,6

ŷ = 29,6 − 2,4·x

Los op naar x

x = (24 − 29,6)/(−2,4) = 2,333

Antwoord

x = 2,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1