Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 24, 26, 49, 47, 17, 30.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt onder 52?

μ = 60σ = 10x = 52

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Er wordt 2 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?

n = 2

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 5 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,5. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 5p = 0,5

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,5098 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,5098

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 80% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 65 puntenσ = 10 punten80%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 60 telefoons, gemiddelde 116 h, bekende standaardafwijking 5 h. Model 2: 80 telefoons, gemiddelde 123 h, bekende standaardafwijking 19 h. Bereken de foutmarge E van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 116 hσ₁ = 5 hn₂ = 80x̄₂ = 123 hσ₂ = 19 h90%

E = h

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Over de fractie defecte producten is vooraf niets bekend. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,02 heeft?

p = 0,5E = 0,0295%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 5 studenten, gemiddelde score 21, standaardafwijking 7,5. Groep 2: 26 studenten, gemiddelde score 26,4, standaardafwijking 4,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 5x̄₁ = 21s₁ = 7,5n₂ = 26x̄₂ = 26,4s₂ = 4,5

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 2,5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 90 %. De standaardafwijking is 15. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,05onderscheidend vermogen = 90%δ = 2,5σ = 15z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 25?

n = 6ŷ = 25

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 12,98

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 193/6 = 32,17

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−8,167)² + (−6,167)² + 16,83² + 14,83² + (−15,17)² + (−2,167)² = 842,8

Standaardafwijking

s = √(842,8/5) = 12,98

Antwoord

s = 12,98

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,2119

Standaardiseren

z = −0,8

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Antwoord

P = 0,2119

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,3056

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complement

P(geen zes) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Antwoord

P = 0,3056

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1875

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,5⁵ = 0,03125

P(X = 1) = 5·0,5·0,5⁴ = 0,1563

Tel ze op

P = 0,03125 + 0,1563 = 0,1875

Antwoord

P = 0,1875

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 0,69

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,5098)/2 = 0,7549

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,7549 in de tabel en lees z af.

z = 0,69

Antwoord

z = 0,69

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 73,4 punten

Oppervlak links

Φ(z) = 0,8

z uit de tabel

z ≈ 0,84

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 65 + 0,84·10 = 73,4 punten

Antwoord

x = 73,4 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 3,652 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 116 − 123 = −7

Standaardfout

SE = √(5²/60 + 19²/80) = 2,22

Foutmarge

E = 1,645·2,22 = 3,652

Antwoord

E = 3,652 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 2401

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n oplossen

n = 1,96²·0,5·0,5/0,02² = 2401

Naar boven afronden

n = 2401

Antwoord

n = 2401

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −2,202

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (4·7,5² + 25·4,5²)/29 = 25,22

s_p = 5,022

Standaardfout

SE = 5,022·√(1/5 + 1/26) = 2,452

Toetsingsgrootheid

t = (21 − 26,4)/2,452 = −2,202

Antwoord

t = −2,202

Bij df = 29 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,045; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 309

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((1,645 + 1,282)·15/2,5)² = 308,4

Naar boven afronden

n = 309

Antwoord

n = 309

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9887

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 344/6 = 57,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 276

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1113

Correlatiecoëfficiënt

r = 276/√(70·1113) = 0,9887

Antwoord

r = 0,9887

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 1,556

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 132/6 = 22

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

Regressielijn

b = −27/17,5 = −1,543

a = 22 − (−1,543)·3,5 = 27,4

ŷ = 27,4 − 1,543·x

Los op naar x

x = (25 − 27,4)/(−1,543) = 1,556

Antwoord

x = 1,556

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1