Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 11, 56, 14, 23, 23.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 8. Welk deel P van de waarden ligt boven 48?

μ = 60σ = 8x = 48

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 5 rode en 5 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

5 / 5

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 12 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,5. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 12p = 0,5

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,3228 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,3228

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 10% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 65 puntenσ = 10 punten10%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 16 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 7,4 en standaardafwijking 4,3. Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 16d̄ = 7,4s_d = 4,399%t(15) = 2,947

E = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 15 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 4,8 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 14 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 5,629 en 2,5% boven 26,119.

n = 15s = 4,8 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 100 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 89,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 7 mm. Lijn 2: een steekproef van 50 onderdelen heeft gemiddelde 92,1 mm, bekende standaardafwijking 3 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 100x̄₁ = 89,5 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 50x̄₂ = 92,1 mmσ₂ = 3 mm

z =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 3 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 14. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,01onderscheidend vermogen = 80%δ = 3σ = 14z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 5?

n = 5ŷ = 5

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 17,92

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 127/5 = 25,4

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−14,4)² + 30,6² + (−11,4)² + (−2,4)² + (−2,4)² = 1285

Standaardafwijking

s = √(1285/4) = 17,92

Antwoord

s = 17,92

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,9332

Standaardiseren

z = −1,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Antwoord

P = 0,9332

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2222

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0,2222

Antwoord

P = 0,2222

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,003174

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,5¹² = 0,0002441

P(X = 1) = 12·0,5·0,5¹¹ = 0,00293

Tel ze op

P = 0,0002441 + 0,00293 = 0,003174

Antwoord

P = 0,003174

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 0,46

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,3228 = 0,6772

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,6772 in de tabel en lees z af.

z = 0,46

Antwoord

z = 0,46

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 52,2 punten

Oppervlak links

Φ(z) = 0,1

z uit de tabel

z ≈ −1,28

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 65 − 1,28·10 = 52,2 punten

Antwoord

x = 52,2 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 3,168 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 15, t = 2,947

Foutmarge

E = 2,947·4,3/√16 = 3,168

Antwoord

E = 3,168 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 3,514 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 14·4,8² = 322,6

Grenzen voor σ²

322,6/26,119 = 12,35

322,6/5,629 = 57,3

Grens voor σ

σ = √12,35 = 3,514 µm

Antwoord

σ = 3,514 µm

95%-interval voor σ: [3,514, 7,57] µm.

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −3,176

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(7²/100 + 3²/50) = √0,67 = 0,8185

Toetsingsgrootheid

z = (89,5 − 92,1)/0,8185 = −3,176

Antwoord

z = −3,176

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 219

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((2,326 + 0,842)·14/3)² = 218,6

Naar boven afronden

n = 219

Antwoord

n = 219

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9635

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 75/5 = 15

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 190

Correlatiecoëfficiënt

r = 84/√(40·190) = 0,9635

Antwoord

r = 0,9635

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 2,741

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 47/5 = 9,4

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54

Regressielijn

b = 54/40 = 1,35

a = 9,4 − 1,35·6 = 1,3

ŷ = 1,3 + 1,35·x

Los op naar x

x = (5 − 1,3)/1,35 = 2,741

Antwoord

x = 2,741

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1