Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 13, 10, 44, 26, 56, 26.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 5. Bereken de z-score z van een score van 94.

μ = 100σ = 5x = 94

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,1, 0,35

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 10X + 5. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,05, 0,35, 0,3Y = 10X + 5

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

De massa's van bouten zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 40 g en standaardafwijking 1,2 g. Bepaal de kans P dat de totale massa van 16 ervan groter is dan 647,2 g. Rond z af op twee decimalen.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 16> 647,2 g

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 85% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 65 puntenσ = 10 punten85%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 13 items heeft gemiddelde 112,5 en standaardafwijking s = 9,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 13x̄ = 112,5s = 9,590%t(12) = 1,782

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De diameters van 16 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 1,5 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 15 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 6,262 en 2,5% boven 27,488.

n = 16s = 1,5 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 16 studenten heeft een gemiddelde score van 184,5 en een steekproefstandaardafwijking van 20. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 184,5s = 20n = 16

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 81 metingen heeft gemiddelde 74,3. De standaardafwijking van de populatie is 4. Bereken de ondergrens L van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 74,3σ = 4n = 8190%

L =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 36Σy = 419Σx² = 286Σy² = 31165Σxy = 2877

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 13?

n = 5ŷ = 13

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 17,83

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 175/6 = 29,17

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−16,17)² + (−19,17)² + 14,83² + (−3,167)² + 26,83² + (−3,167)² = 1589

Standaardafwijking

s = √(1589/5) = 17,83

Antwoord

s = 17,83

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −1,2

Standaardiseren

z = (94 − 100)/5 = −1,2

Antwoord

z = −1,2

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 1,34

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,2 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,35 = 1,6

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,35 = 3,9

Variantie

Var(X) = 3,9 − 1,6² = 1,34

Antwoord

Var(X) = 1,34

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 11,95

Spreiding van X

μ = 2,65, Var(X) = 1,428, σ_X = 1,195

Lineaire transformatie

σ_Y = |10|·1,195 = 11,95

Antwoord

σ_Y = 11,95

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 10·2,65 + 5 = 31,5.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,06681

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het totaal

μ_T = 640 g, σ_T = 1,2·√16 = 4,8 g

Standaardiseren

z = (647,2 − 640)/4,8 = 1,5

Kansrekening

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

Antwoord

P = 0,06681

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 54,6 punten

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,15

z uit de tabel

z ≈ −1,04

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 65 − 1,04·10 = 54,6 punten

Antwoord

x = 54,6 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 107,8

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Foutmarge

E = 1,782·9,5/√13 = 4,695

Interval

112,5 ± 4,695 → [107,8, 117,2]

Antwoord

ondergrens = 107,8

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: σ = 1,108 µm

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 15·1,5² = 33,75

Grenzen voor σ²

33,75/27,488 = 1,228

33,75/6,262 = 5,39

Grens voor σ

σ = √1,228 = 1,108 µm

Antwoord

σ = 1,108 µm

95%-interval voor σ: [1,108, 2,322] µm.

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −3,1

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Toetsingsgrootheid

t = (184,5 − 200)/5 = −3,1

Antwoord

t = −3,1

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 73,57

Foutmarge

E = 1,645·4/√81 = 0,7311

Intervalgrens

L = 74,3 − 0,7311 = 73,57

Antwoord

L = 73,57

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9941

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 2877 − 36·419/6 = 363

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 31165 − 419²/6 = 1905

Correlatiecoëfficiënt

r = 363/√(70·1905) = 0,9941

Antwoord

r = 0,9941

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 4,615

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 86/5 = 17,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

Regressielijn

b = −26/10 = −2,6

a = 17,2 − (−2,6)·3 = 25

ŷ = 25 − 2,6·x

Los op naar x

x = (13 − 25)/(−2,6) = 4,615

Antwoord

x = 4,615

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1