Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 30, 25, 23, 39, 25, 36.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 8. Welk deel P van de waarden ligt onder 104,8?

μ = 100σ = 8x = 104,8

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,25, 0,1, 0,05, 0,25

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 10 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,6. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 10p = 0,6

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Welk deel ligt tussen 60,5 en 67 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 65σ = 10x₁ = 60,5x₂ = 67

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 85% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 65 puntenσ = 10 punten85%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 25 items heeft gemiddelde 76 en standaardafwijking s = 2,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 25x̄ = 76s = 2,595%t(24) = 2,064

E =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 21. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?

σ = 21E = 399%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 100 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 24. Een aselecte steekproef van 64 waarnemingen heeft een gemiddelde van 104,86. Toets H₀: μ = 100 tegen H₁: μ ≠ 100. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 100σ = 24n = 64x̄ = 104,86H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 100 metingen heeft gemiddelde 50,6. De standaardafwijking van de populatie is 20. Bereken de bovengrens U van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 50,6σ = 20n = 10090%

U =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 42Σy = 85Σx² = 364Σy² = 1475Σxy = 730

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 7.

n = 6x = 7

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 6,563

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 178/6 = 29,67

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 0,3333² + (−4,667)² + (−6,667)² + 9,333² + (−4,667)² + 6,333² = 215,3

Standaardafwijking

s = √(215,3/5) = 6,563

Antwoord

s = 6,563

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,7257

Standaardiseren

z = 0,6

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Antwoord

P = 0,7257

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,594

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,1 + 4·0,05 + 5·0,25 = 2,6

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,1 + 16·0,05 + 25·0,25 = 9,3

Variantie

Var(X) = 9,3 − 2,6² = 2,54

σ = √2,54 = 1,594

Antwoord

σ = 1,594

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,001678

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,4¹⁰ = 0,0001049

P(X = 1) = 10·0,6·0,4⁹ = 0,001573

Tel ze op

P = 0,0001049 + 0,001573 = 0,001678

Antwoord

P = 0,001678

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,2529

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (60,5 − 65)/10 = −0,45

z₂ = (67 − 65)/10 = 0,2

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,2) − Φ(−0,45) = 0,5793 − 0,3264 = 0,2529

Antwoord

P = 0,2529

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 75,4 punten

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,85

z uit de tabel

z ≈ 1,04

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 65 + 1,04·10 = 75,4 punten

Antwoord

x = 75,4 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 1,032

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Foutmarge

E = 2,064·2,5/√25 = 1,032

Antwoord

E = 1,032

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 326

n oplossen

n = (2,576·21/3)² = 325,2

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 326

Antwoord

n = 326

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,1052

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 24/√64 = 3

z = (104,86 − 100)/3 = 1,62

Staartoppervlakte

Φ(1,62) = 0,9474

1 − Φ(1,62) = 0,0526

p-waarde

p = 2·0,0526 = 0,1052

Antwoord

p = 0,1052

p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: U = 53,89

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 1,645·20/√100 = 3,29

Intervalgrens

U = 50,6 + 3,29 = 53,89

Antwoord

U = 53,89

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9805

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 730 − 42·85/6 = 135

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 1475 − 85²/6 = 270,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 135/√(70·270,8) = 0,9805

Antwoord

r = 0,9805

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 20,67

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 124/6 = 20,67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 218

Regressielijn

b = 218/70 = 3,114

a = 20,67 − 3,114·7 = −1,133

ŷ = −1,133 + 3,114·x

Voorspelling

ŷ = −1,133 + 3,114·7 = 20,67

Antwoord

ŷ = 20,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1