Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 54, 53, 47, 24, 14.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 25. Welk deel P van de waarden ligt boven 510?

μ = 500σ = 25x = 510

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 3 rode en 5 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

3 / 5

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €10 inzet. Je wint €30 met kans 0,15 en €100 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €10€30: p = 0,15€100: p = 0,02

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,3829 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,3829

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 10% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 250 gσ = 5 g10%

x = g

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 9 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 1,3 en standaardafwijking 1,5. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 9d̄ = 1,3s_d = 1,590%t(8) = 1,86

bovengrens = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 19 proefvelden, gemiddelde opbrengst 88 kg, standaardafwijking 7 kg. Groep 2: 7 proefvelden, gemiddelde 98,5 kg, standaardafwijking 9,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 19x̄₁ = 88s₁ = 7n₂ = 7x̄₂ = 98,5s₂ = 9,590%t(24) = 1,711

bovengrens = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 80 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 12. Een aselecte steekproef van 64 waarnemingen heeft een gemiddelde van 82,61. Toets H₀: μ = 80 tegen H₁: μ > 80. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 80σ = 12n = 64x̄ = 82,61H₁: μ > μ₀

p =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft? De standaardafwijking is 15. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 15E = 0,590%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6Σx = 42Σy = 137Σx² = 364Σy² = 3691Σxy = 1156

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 25?

n = 6ŷ = 25

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 18,26

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 192/5 = 38,4

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 15,6² + 14,6² + 8,6² + (−14,4)² + (−24,4)² = 1333

Standaardafwijking

s = √(1333/4) = 18,26

Antwoord

s = 18,26

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,3446

Standaardiseren

z = 0,4

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Antwoord

P = 0,3446

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1071

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 3/8 · 2/7 = 6/56 = 0,1071

Antwoord

P = 0,1071

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = −3,5 €

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Netto-uitkomsten

G: 20 (p = 0,15), 90 (p = 0,02), −10 (p = 0,83)

Verwachtingswaarde

E(G) = 20·0,15 + 90·0,02 − 10·0,83 = −3,5 €

Antwoord

E(G) = −3,5 €

Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 0,5

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,3829)/2 = 0,6915

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,6915 in de tabel en lees z af.

z = 0,50

Antwoord

z = 0,50

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 256,4 g

Oppervlak links

Φ(z) = 0,9

z uit de tabel

z ≈ 1,28

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 250 + 1,28·5 = 256,4 g

Antwoord

x = 256,4 g

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 2,23 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 8, t = 1,86

Foutmarge

E = 1,86·1,5/√9 = 0,93

Interval

1,3 ± 0,93 → [0,37, 2,23]

Antwoord

bovengrens = 2,23 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = −4,674 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (18·7² + 6·9,5²)/24 = 59,31

s_p = 7,701

Foutmarge

E = 1,711·7,701·√(1/19 + 1/7) = 5,826

Interval

−10,5 ± 5,826 → [−16,33, −4,674]

Antwoord

bovengrens = −4,674 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,04093

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 12/√64 = 1,5

z = (82,61 − 80)/1,5 = 1,74

Staartoppervlakte

Φ(1,74) = 0,9591

1 − Φ(1,74) = 0,0409

p-waarde

p = 0,04093

Antwoord

p = 0,04093

p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 2436

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (1,645·15/0,5)² = 2435

Naar boven afronden

n = 2436

Antwoord

n = 2436

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9925

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 1156 − 42·137/6 = 197

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 3691 − 137²/6 = 562,8

Correlatiecoëfficiënt

r = 197/√(70·562,8) = 0,9925

Antwoord

r = 0,9925

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 8,872

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 124/6 = 20,67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162

Regressielijn

b = 162/70 = 2,314

a = 20,67 − 2,314·7 = 4,467

ŷ = 4,467 + 2,314·x

Los op naar x

x = (25 − 4,467)/2,314 = 8,872

Antwoord

x = 8,872

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1