Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 11, 41, 16, 60, 13, 46.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt boven 166?

μ = 170σ = 5x = 166

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 5 rode en 9 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

5 / 9

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 6 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,4. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 6p = 0,4

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 93,25 en 115 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 100σ = 15x₁ = 93,25x₂ = 115

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 10% ervan ligt (het 10e percentiel).

μ = 32σ = 6P = 10%

x = min

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 36 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 1,2. Wat is de foutmarge E₂ van een 95%-interval uit dezelfde data?

99%n₁ = 36E₁ = 1,295%

E₂ =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 12. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?

σ = 12E = 190%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 500 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 25. Een aselecte steekproef van 100 waarnemingen heeft een gemiddelde van 503,35. Toets H₀: μ = 500 tegen H₁: μ ≠ 500. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 500σ = 25n = 100x̄ = 503,35H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 80 tegen H₁: μ > 80 wordt uitgevoerd bij α = 0,05 met een steekproef van 25; de standaardafwijking is bekend en is 7,5. In werkelijkheid is het gemiddelde 81,95. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.

μ₀ = 80μ = 81,95σ = 7,5n = 25α = 0,05

1 − β = %

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 26?

n = 5ŷ = 26

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 20,57

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 187/6 = 31,17

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−20,17)² + 9,833² + (−15,17)² + 28,83² + (−18,17)² + 14,83² = 2115

Standaardafwijking

s = √(2115/5) = 20,57

Antwoord

s = 20,57

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,7881

Standaardiseren

z = −0,8

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Antwoord

P = 0,7881

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,1099

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 5/14 · 4/13 = 20/182 = 0,1099

Antwoord

P = 0,1099

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2333

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,6⁶ = 0,04666

P(X = 1) = 6·0,4·0,6⁵ = 0,1866

Tel ze op

P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333

Antwoord

P = 0,2333

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,515

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (93,25 − 100)/15 = −0,45

z₂ = (115 − 100)/15 = 1

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1) − Φ(−0,45) = 0,8413 − 0,3264 = 0,515

Antwoord

P = 0,515

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 24,31 min

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Terug naar x

x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min

Antwoord

x = 24,31 min

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E₂ = 0,913

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(36/36) = 0,7609

Nieuwe marge

E₂ = 1,2·0,7609 = 0,913

Antwoord

E₂ = 0,913

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 390

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

n oplossen

n = (1,645·12/1)² = 389,7

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 390

Antwoord

n = 390

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,1802

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 25/√100 = 2,5

z = (503,35 − 500)/2,5 = 1,34

Staartoppervlakte

Φ(1,34) = 0,9099

1 − Φ(1,34) = 0,0901

p-waarde

p = 2·0,0901 = 0,1802

Antwoord

p = 0,1802

p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: 1 − β = 36,5 %

Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritiek steekproefgemiddelde

SE = 7,5/√25 = 1,5

x̄_c = 80 + 1,645·1,5 = 82,47

z onder het ware gemiddelde

z = (82,47 − 81,95)/1,5 = 0,345

Vermogen

onderscheidend vermogen = P(Z > 0,345) = 36,5%

1 − β = 36,5%

Antwoord

1 − β = 36,5%

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = −0,9743

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 96/5 = 19,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 76,8

Correlatiecoëfficiënt

r = −27/√(10·76,8) = −0,9743

Antwoord

r = −0,9743

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 2,333

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 126/5 = 25,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −12

Regressielijn

b = −12/10 = −1,2

a = 25,2 − (−1,2)·3 = 28,8

ŷ = 28,8 − 1,2·x

Los op naar x

x = (26 − 28,8)/(−1,2) = 2,333

Antwoord

x = 2,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1