Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 27, 52, 44, 58, 46, 17.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt onder 34?

μ = 50σ = 20x = 34

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 5 rode en 4 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

5 / 4

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 9 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,7. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 9p = 0,7

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Welk deel ligt tussen 500 en 580 h? Geef P als decimaal getal.

μ = 500σ = 40x₁ = 500x₂ = 580

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 97,5% ervan ligt (het 97,5e percentiel).

μ = 178σ = 7P = 97,5%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 60 telefoons, gemiddelde 147 h, bekende standaardafwijking 8 h. Model 2: 50 telefoons, gemiddelde 161 h, bekende standaardafwijking 9 h. Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 147 hσ₁ = 8 hn₂ = 50x̄₂ = 161 hσ₂ = 9 h95%

E = h

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 7 proefvelden, gemiddelde opbrengst 18 kg, standaardafwijking 9,5 kg. Groep 2: 7 proefvelden, gemiddelde 19,5 kg, standaardafwijking 7 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 18s₁ = 9,5n₂ = 7x̄₂ = 19,5s₂ = 790%t(12) = 1,782

E = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 124,8 en een steekproefstandaardafwijking van 20. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 124,8s = 20n = 100

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 100 metingen heeft gemiddelde 119,3. De standaardafwijking van de populatie is 4. Bereken de ondergrens L van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 119,3σ = 4n = 10090%

L =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 105?

n = 5ŷ = 105

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 15,59

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 244/6 = 40,67

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−13,67)² + 11,33² + 3,333² + 17,33² + 5,333² + (−23,67)² = 1215

Standaardafwijking

s = √(1215/5) = 15,59

Antwoord

s = 15,59

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,2119

Standaardiseren

z = −0,8

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Antwoord

P = 0,2119

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2778

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0,2778

Antwoord

P = 0,2778

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,000433

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,3⁹ = 1,968 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 9·0,7·0,3⁸ = 0,0004133

Tel ze op

P = 1,968 × 10⁻⁵ + 0,0004133 = 0,000433

Antwoord

P = 0,000433

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,4772

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (500 − 500)/40 = 0

z₂ = (580 − 500)/40 = 2

Oppervlakte ertussen

P = Φ(2) − Φ(0) = 0,9772 − 0,5 = 0,4772

Antwoord

P = 0,4772

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 191,7 cm

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Terug naar x

x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm

Antwoord

x = 191,72 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 3,213 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 147 − 161 = −14

Standaardfout

SE = √(8²/60 + 9²/50) = 1,639

Foutmarge

E = 1,96·1,639 = 3,213

Antwoord

E = 3,213 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 7,948 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (6·9,5² + 6·7²)/12 = 69,63

s_p = 8,344

Foutmarge

E = 1,782·8,344·√(1/7 + 1/7) = 7,948

Antwoord

E = 7,948 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,4

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 20/√100 = 20/10 = 2

Toetsingsgrootheid

t = (124,8 − 120)/2 = 2,4

Antwoord

t = 2,4

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 118,6

Foutmarge

E = 1,645·4/√100 = 0,658

Intervalgrens

L = 119,3 − 0,658 = 118,6

Antwoord

L = 118,6

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = −0,9726

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 89/5 = 17,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 160,8

Correlatiecoëfficiënt

r = −39/√(10·160,8) = −0,9726

Antwoord

r = −0,9726

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 22,58

Gemiddelden

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 491/5 = 98,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 387

Regressielijn

b = 387/90 = 4,3

a = 98,2 − 4,3·21 = 7,9

ŷ = 7,9 + 4,3·x

Los op naar x

x = (105 − 7,9)/4,3 = 22,58

Antwoord

x = 22,58

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1