Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 21, 34, 37, 30, 18, 13, 34.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 10. Bereken de z-score z van een score van 58.

μ = 70σ = 10x = 58

z =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,15, 0,25, 0,1

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

Er worden 12 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,6. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?

n = 12p = 0,6

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 120 mm en standaardafwijking 0,3 mm; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 80 mm en standaardafwijking 0,4 mm. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 200,3 mm. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,3 mm

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Bereken de waarde x waaronder 25% ervan ligt (het 25e percentiel).

μ = 500σ = 40P = 25%

x = h

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 9 items heeft gemiddelde 92,5 en standaardafwijking s = 8,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 9x̄ = 92,5s = 8,595%t(8) = 2,306

bovengrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 7 proefvelden, gemiddelde opbrengst 83 kg, standaardafwijking 4 kg. Groep 2: 5 proefvelden, gemiddelde 78 kg, standaardafwijking 4,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 83s₁ = 4n₂ = 5x̄₂ = 78s₂ = 4,590%t(10) = 1,812

ondergrens = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 124,1 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 124,1s = 10n = 49

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 100 metingen heeft gemiddelde 498. De standaardafwijking van de populatie is 8. Bereken de bovengrens U van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 498σ = 8n = 10099%

U =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 6,5.

n = 5x = 6,5

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 9,304

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 187/7 = 26,71

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−5,714)² + 7,286² + 10,29² + 3,286² + (−8,714)² + (−13,71)² + 7,286² = 519,4

Standaardafwijking

s = √(519,4/6) = 9,304

Antwoord

s = 9,304

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = −1,2

Standaardiseren

z = (58 − 70)/10 = −1,2

Antwoord

z = −1,2

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 1,388

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,3 + 1·0,2 + 2·0,15 + 3·0,25 + 4·0,1 = 1,65

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,2 + 4·0,15 + 9·0,25 + 16·0,1 = 4,65

Variantie

Var(X) = 4,65 − 1,65² = 1,928

σ = √1,928 = 1,388

Antwoord

σ = 1,388

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,0003188

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nul en één uitval

P(X = 0) = 0,4¹² = 1,678 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 12·0,6·0,4¹¹ = 0,000302

Tel ze op

P = 1,678 × 10⁻⁵ + 0,000302 = 0,0003188

Antwoord

P = 0,0003188

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,2743

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standaardiseren

z = (200,3 − 200)/0,5 = 0,6

Rechterstaart

P = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743

Antwoord

P = 0,2743

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 473 h

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Terug naar x

x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h

Antwoord

x = 473,02 h

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 99,03

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Foutmarge

E = 2,306·8,5/√9 = 6,534

Interval

92,5 ± 6,534 → [85,97, 99,03]

Antwoord

bovengrens = 99,03

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 0,5362 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (6·4² + 4·4,5²)/10 = 17,7

s_p = 4,207

Foutmarge

E = 1,812·4,207·√(1/7 + 1/5) = 4,464

Interval

5 ± 4,464 → [0,5362, 9,464]

Antwoord

ondergrens = 0,5362 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 2,87

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429

Toetsingsgrootheid

t = (124,1 − 120)/1,429 = 2,87

Antwoord

t = 2,87

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: U = 500,1

Foutmarge

E = 2,576·8/√100 = 2,061

Intervalgrens

U = 498 + 2,061 = 500,1

Antwoord

U = 500,1

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9834

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 376/5 = 75,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 202

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1055

Correlatiecoëfficiënt

r = 202/√(40·1055) = 0,9834

Antwoord

r = 0,9834

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 58,55

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 274/5 = 54,8

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 25

Regressielijn

b = 25/10 = 2,5

a = 54,8 − 2,5·5 = 42,3

ŷ = 42,3 + 2,5·x

Voorspelling

ŷ = 42,3 + 2,5·6,5 = 58,55

Antwoord

ŷ = 58,55

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1