Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 15, 18, 51, 19, 37.

n = 5

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 12. Welk deel P van de waarden ligt boven 65?

μ = 50σ = 12x = 65

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,15, 0,3, 0,2

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €1 inzet. Je wint €2 met kans 0,3 en €10 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €1€2: p = 0,3€10: p = 0,05

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,4647 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,4647

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 30% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 60 telefoons, gemiddelde 90,5 h, bekende standaardafwijking 15 h. Model 2: 40 telefoons, gemiddelde 78,5 h, bekende standaardafwijking 6 h. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 90,5 hσ₁ = 15 hn₂ = 40x̄₂ = 78,5 hσ₂ = 6 h90%

ondergrens = h

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 8 proefvelden, gemiddelde opbrengst 41,5 kg, standaardafwijking 1,5 kg. Groep 2: 8 proefvelden, gemiddelde 31,5 kg, standaardafwijking 6,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 41,5s₁ = 1,5n₂ = 8x̄₂ = 31,5s₂ = 6,590%t(14) = 1,761

bovengrens = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 60 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 60,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 6 mm. Lijn 2: een steekproef van 40 onderdelen heeft gemiddelde 65,5 mm, bekende standaardafwijking 11 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 60x̄₁ = 60,5 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 40x̄₂ = 65,5 mmσ₂ = 11 mm

z =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

In een onderzoek herstellen 36 van de 80 patiënten met behandeling A en 114 van de 200 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 36n₁ = 80x₂ = 114n₂ = 200

z =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 56?

n = 6ŷ = 56

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 15,49

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 140/5 = 28

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−13)² + (−10)² + 23² + (−9)² + 9² = 960

Standaardafwijking

s = √(960/4) = 15,49

Antwoord

s = 15,49

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,1056

Standaardiseren

z = 1,25

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Antwoord

P = 0,1056

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 5,31

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,35 + 2·0,15 + 4·0,3 + 6·0,2 = 2,7

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,15 + 16·0,3 + 36·0,2 = 12,6

Variantie

Var(X) = 12,6 − 2,7² = 5,31

Antwoord

Var(X) = 5,31

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 0,1 €

Netto-uitkomsten

G: 1 (p = 0,3), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,65)

Verwachtingswaarde

E(G) = 1·0,3 + 9·0,05 − 1·0,65 = 0,1 €

Antwoord

E(G) = 0,1 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 0,62

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,4647)/2 = 0,7324

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,7324 in de tabel en lees z af.

z = 0,62

Antwoord

z = 0,62

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 174,4 cm

Oppervlak links

Φ(z) = 0,3

z uit de tabel

z ≈ −0,52

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm

Antwoord

x = 174,4 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 8,453 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 90,5 − 78,5 = 12

Standaardfout

SE = √(15²/60 + 6²/40) = 2,156

Foutmarge

E = 1,645·2,156 = 3,547

Interval

12 ± 3,547 → [8,453, 15,55]

Antwoord

ondergrens = 8,453 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 14,15 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (7·1,5² + 7·6,5²)/14 = 22,25

s_p = 4,717

Foutmarge

E = 1,761·4,717·√(1/8 + 1/8) = 4,153

Interval

10 ± 4,153 → [5,847, 14,15]

Antwoord

bovengrens = 14,15 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −2,626

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(6²/60 + 11²/40) = √3,625 = 1,904

Toetsingsgrootheid

z = (60,5 − 65,5)/1,904 = −2,626

Antwoord

z = −2,626

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −1,819

Steekproeffracties

p̂₁ = 36/80 = 0,45

p̂₂ = 114/200 = 0,57

p̂ = 150/280 = 0,5357

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,5357·0,4643·(1/80 + 1/200)) = 0,06597

Toetsingsgrootheid

z = (0,45 − 0,57)/0,06597 = −1,819

Antwoord

z = −1,819

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,8755

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 297/6 = 49,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 205,5

Correlatiecoëfficiënt

r = 52,5/√(17,5·205,5) = 0,8755

Antwoord

r = 0,8755

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 4,519

Gemiddelden

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 303/6 = 50,5

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94,5

Regressielijn

b = 94,5/17,5 = 5,4

a = 50,5 − 5,4·3,5 = 31,6

ŷ = 31,6 + 5,4·x

Los op naar x

x = (56 − 31,6)/5,4 = 4,519

Antwoord

x = 4,519

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1