Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 50, 30, 51, 29, 36, 14, 10.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt boven 107,5?

μ = 100σ = 5x = 107,5

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,25, 0,2, 0,25

Var(X) =

4.KansrekeningMoeilijk

X heeft de getoonde verdeling, en Y = 3X + 10. Bepaal de standaardafwijking σ_Y van Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,35, 0,2, 0,15Y = 3X + 10

σ_Y =

5.Normale verdelingGemiddeld

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 88,75 en 107,5 punten? Geef P als decimaal getal.

μ = 100σ = 15x₁ = 88,75x₂ = 107,5

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 10% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 65 puntenσ = 10 punten10%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De bloeddruk van 13 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 6,6 en standaardafwijking 3,7. Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.

n = 13d̄ = 6,6s_d = 3,795%t(12) = 2,179

E = mmHg

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 16 proefvelden, gemiddelde opbrengst 59 kg, standaardafwijking 5,5 kg. Groep 2: 6 proefvelden, gemiddelde 64,5 kg, standaardafwijking 5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 16x̄₁ = 59s₁ = 5,5n₂ = 6x̄₂ = 64,5s₂ = 590%t(20) = 1,725

ondergrens = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 9 studenten, gemiddelde score 62,5, standaardafwijking 10,5. Groep 2: 5 studenten, gemiddelde score 80,7, standaardafwijking 9,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).

n₁ = 9x̄₁ = 62,5s₁ = 10,5n₂ = 5x̄₂ = 80,7s₂ = 9,5

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft? De standaardafwijking is 5. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 5E = 395%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5Σx = 20Σy = 215Σx² = 90Σy² = 9487Σxy = 906

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (8, 93) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(8, 93)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 15,91

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 220/7 = 31,43

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 18,57² + (−1,429)² + 19,57² + (−2,429)² + 4,571² + (−17,43)² + (−21,43)² = 1520

Standaardafwijking

s = √(1520/6) = 15,91

Antwoord

s = 15,91

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,06681

Standaardiseren

z = 1,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Antwoord

P = 0,06681

3.Kansrekening

Antwoord: Var(X) = 134

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 10·0,3 + 20·0,25 + 30·0,2 + 40·0,25 = 24

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,25 + 900·0,2 + 1600·0,25 = 710

Variantie

Var(X) = 710 − 24² = 134

Antwoord

Var(X) = 134

4.Kansrekening

Antwoord: σ_Y = 3,089

Spreiding van X

μ = 1,2, Var(X) = 1,06, σ_X = 1,03

Lineaire transformatie

σ_Y = |3|·1,03 = 3,089

Antwoord

σ_Y = 3,089

Het gemiddelde verschuift wel: E(Y) = 3·1,2 + 10 = 13,6.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,4648

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (88,75 − 100)/15 = −0,75

z₂ = (107,5 − 100)/15 = 0,5

Oppervlakte ertussen

P = Φ(0,5) − Φ(−0,75) = 0,6915 − 0,2266 = 0,4648

Antwoord

P = 0,4648

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 77,8 punten

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links

Φ(z) = 0,9

z uit de tabel

z ≈ 1,28

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 65 + 1,28·10 = 77,8 punten

Antwoord

x = 77,8 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 2,236 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritieke waarde

df = 12, t = 2,179

Foutmarge

E = 2,179·3,7/√13 = 2,236

Antwoord

E = 2,236 mmHg

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −9,942 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (15·5,5² + 5·5²)/20 = 28,94

s_p = 5,379

Foutmarge

E = 1,725·5,379·√(1/16 + 1/6) = 4,442

Interval

−5,5 ± 4,442 → [−9,942, −1,058]

Antwoord

ondergrens = −9,942 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −3,206

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolde variantie

s_p² = (8·10,5² + 4·9,5²)/12 = 103,6

s_p = 10,18

Standaardfout

SE = 10,18·√(1/9 + 1/5) = 5,677

Toetsingsgrootheid

t = (62,5 − 80,7)/5,677 = −3,206

Antwoord

t = −3,206

Bij df = 12 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,179; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 11

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (1,96·5/3)² = 10,67

Naar boven afronden

n = 11

Antwoord

n = 11

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9351

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gecentreerde sommen

S_xy = 906 − 20·215/5 = 46

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 9487 − 215²/5 = 242

Correlatiecoëfficiënt

r = 46/√(10·242) = 0,9351

Antwoord

r = 0,9351

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = −2,167

Gemiddelden

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 571/6 = 95,17

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 487

Regressielijn

b = 487/70 = 6,957

a = 95,17 − 6,957·8 = 39,51

ŷ = 39,51 + 6,957·x

Voorspelde waarde

ŷ = 39,51 + 6,957·8 = 95,17

Residu

e = 93 − 95,17 = −2,167

Antwoord

e = −2,167

Het punt ligt onder de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1