Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 38, 15, 11, 25, 29, 26.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt boven 62,5?

μ = 70σ = 5x = 62,5

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 2 personen kiezen uit een groep van 13? De volgorde doet er niet toe.

n = 13k = 2

N =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €3 inzet. Je wint €15 met kans 0,25 en €30 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €3€15: p = 0,25€30: p = 0,05

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Welk deel ligt tussen 178 en 188,85 cm? Geef P als decimaal getal.

μ = 178σ = 7x₁ = 178x₂ = 188,85

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Bereken de waarde x waaronder 10% ervan ligt (het 10e percentiel).

μ = 100σ = 15P = 10%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 7 items heeft gemiddelde 24,5 en standaardafwijking s = 12,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 7x̄ = 24,5s = 12,595%t(6) = 2,447

E =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 27. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 5 heeft?

σ = 27E = 590%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 36 studenten heeft een gemiddelde score van 45,6 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 45,6s = 12n = 36

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 3 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 90 %. De standaardafwijking is 25. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,05onderscheidend vermogen = 90%δ = 3σ = 25z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 11.

n = 6x = 11

ŷ =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 9,757

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 144/6 = 24

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 14² + (−9)² + (−13)² + 1² + 5² + 2² = 476

Standaardafwijking

s = √(476/5) = 9,757

Antwoord

s = 9,757

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,9332

Standaardiseren

z = −1,5

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Antwoord

P = 0,9332

3.Kansrekening

Antwoord: N = 78

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78

Antwoord

N = 78

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 2,25 €

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Netto-uitkomsten

G: 12 (p = 0,25), 27 (p = 0,05), −3 (p = 0,7)

Verwachtingswaarde

E(G) = 12·0,25 + 27·0,05 − 3·0,7 = 2,25 €

Antwoord

E(G) = 2,25 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,4394

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z-scores

z₁ = (178 − 178)/7 = 0

z₂ = (188,85 − 178)/7 = 1,55

Oppervlakte ertussen

P = Φ(1,55) − Φ(0) = 0,9394 − 0,5 = 0,4394

Antwoord

P = 0,4394

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 80,78 punten

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Terug naar x

x = 100 + −1,282·15 = 80,78 punten

Antwoord

x = 80,78 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 11,56

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Foutmarge

E = 2,447·12,5/√7 = 11,56

Antwoord

E = 11,56

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 79

n oplossen

n = (1,645·27/5)² = 78,91

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 79

Antwoord

n = 79

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = −2,2

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Toetsingsgrootheid

t = (45,6 − 50)/2 = −2,2

Antwoord

t = −2,2

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 595

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((1,645 + 1,282)·25/3)² = 595

Naar boven afronden

n = 595

Antwoord

n = 595

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9699

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 262/5 = 52,4

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 409,2

Determinatiecoëfficiënt

r² = 126²/(40·409,2) = 0,9699

Antwoord

r² = 0,9699

Ongeveer 96,99% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 22,44

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 88/6 = 14,67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

Regressielijn

b = 136/70 = 1,943

a = 14,67 − 1,943·7 = 1,067

ŷ = 1,067 + 1,943·x

Voorspelling

ŷ = 1,067 + 1,943·11 = 22,44

Antwoord

ŷ = 22,44

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1