Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 57, 51, 11, 19, 48, 16, 56.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 50. Welk deel P van de waarden ligt onder 400?

μ = 500σ = 50x = 400

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 8 rode en 7 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

8 / 7

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €10 inzet. Je wint €20 met kans 0,15 en €200 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €10€20: p = 0,15€200: p = 0,02

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,8621 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,8621

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,04 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.

gat: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 80 telefoons, gemiddelde 104 h, bekende standaardafwijking 14 h. Model 2: 100 telefoons, gemiddelde 108,5 h, bekende standaardafwijking 8 h. Bereken de foutmarge E van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 104 hσ₁ = 14 hn₂ = 100x̄₂ = 108,5 hσ₂ = 8 h99%

E = h

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 15 proefvelden, gemiddelde opbrengst 85,5 kg, standaardafwijking 6 kg. Groep 2: 16 proefvelden, gemiddelde 92 kg, standaardafwijking 7,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 15x̄₁ = 85,5s₁ = 6n₂ = 16x̄₂ = 92s₂ = 7,590%t(29) = 1,699

ondergrens = kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 80 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 15. Een aselecte steekproef van 100 waarnemingen heeft een gemiddelde van 78,56. Toets H₀: μ = 80 tegen H₁: μ < 80. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 80σ = 15n = 100x̄ = 78,56H₁: μ < μ₀

p =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 3 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 95 %. De standaardafwijking is 23. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,05onderscheidend vermogen = 95%δ = 3σ = 23z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 5

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 68?

n = 6ŷ = 68

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 20,49

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 258/7 = 36,86

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 20,14² + 14,14² + (−25,86)² + (−17,86)² + 11,14² + (−20,86)² + 19,14² = 2519

Standaardafwijking

s = √(2519/6) = 20,49

Antwoord

s = 20,49

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,02275

Standaardiseren

z = −2

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Antwoord

P = 0,02275

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,2667

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 8/15 · 7/14 = 56/210 = 0,2667

Antwoord

P = 0,2667

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = −3 €

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Netto-uitkomsten

G: 10 (p = 0,15), 190 (p = 0,02), −10 (p = 0,83)

Verwachtingswaarde

E(G) = 10·0,15 + 190·0,02 − 10·0,83 = −3 €

Antwoord

E(G) = −3 €

Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.

5.Normale verdeling

Antwoord: z = −1,09

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,8621 = 0,1379

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,1379 in de tabel en lees z af.

z = −1,09

Antwoord

z = −1,09

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,9706

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het verschil

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02121 mm

Standaardiseren

z = (0 − 0,04)/0,02121 = −1,89

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1,89) = 0,9706

Antwoord

P = 0,9706

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 4,528 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 104 − 108,5 = −4,5

Standaardfout

SE = √(14²/80 + 8²/100) = 1,758

Foutmarge

E = 2,576·1,758 = 4,528

Antwoord

E = 4,528 h

Het interval bevat 0, dus de data laten geen significant verschil zien.

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = −10,66 kg

Gepoolde standaardafwijking

s_p² = (14·6² + 15·7,5²)/29 = 46,47

s_p = 6,817

Foutmarge

E = 1,699·6,817·√(1/15 + 1/16) = 4,163

Interval

−6,5 ± 4,163 → [−10,66, −2,337]

Antwoord

ondergrens = −10,66 kg

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,1685

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 15/√100 = 1,5

z = (78,56 − 80)/1,5 = −0,96

Staartoppervlakte

Φ(0,96) = 0,8315

1 − Φ(0,96) = 0,1685

p-waarde

p = 0,1685

Antwoord

p = 0,1685

p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 637

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((1,645 + 1,645)·23/3)² = 636,2

Naar boven afronden

n = 637

Antwoord

n = 637

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,991

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 80/5 = 16

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 178

Determinatiecoëfficiënt

r² = 84²/(40·178) = 0,991

Antwoord

r² = 0,991

Ongeveer 99,1% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 11,18

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 340/6 = 56,67

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190

Regressielijn

b = 190/70 = 2,714

a = 56,67 − 2,714·7 = 37,67

ŷ = 37,67 + 2,714·x

Los op naar x

x = (68 − 37,67)/2,714 = 11,18

Antwoord

x = 11,18

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1