Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 39, 49, 26, 49, 50, 10.

n = 6

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 40. Welk deel P van de waarden ligt boven 540?

μ = 500σ = 40x = 540

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 2 personen kiezen uit een groep van 12? De volgorde doet er niet toe.

n = 12k = 2

N =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €5 inzet. Je wint €15 met kans 0,1 en €100 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €5€15: p = 0,1€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,8501 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,8501

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 5% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.

μ = 65 puntenσ = 10 punten5%

x = punten

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 20 items heeft gemiddelde 62 en standaardafwijking s = 6,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 20x̄ = 62s = 6,590%t(19) = 1,729

bovengrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 21. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 5 heeft?

σ = 21E = 590%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 101,7 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 101,7s = 10n = 49

t =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een steekproef van 16 metingen heeft gemiddelde 111,3. De standaardafwijking van de populatie is 15. Bereken de ondergrens L van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 111,3σ = 15n = 1699%

L =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 17?

n = 5ŷ = 17

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 16,19

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 223/6 = 37,17

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 1,833² + 11,83² + (−11,17)² + 11,83² + 12,83² + (−27,17)² = 1311

Standaardafwijking

s = √(1311/5) = 16,19

Antwoord

s = 16,19

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,1587

Standaardiseren

z = 1

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Antwoord

P = 0,1587

3.Kansrekening

Antwoord: N = 66

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(12, 2) = (12·11)/(2·1) = 66

Antwoord

N = 66

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = −2,5 €

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Netto-uitkomsten

G: 10 (p = 0,1), 95 (p = 0,01), −5 (p = 0,89)

Verwachtingswaarde

E(G) = 10·0,1 + 95·0,01 − 5·0,89 = −2,5 €

Antwoord

E(G) = −2,5 €

Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.

5.Normale verdeling

Antwoord: z = 1,44

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = (1 + 0,8501)/2 = 0,9251

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,9251 in de tabel en lees z af.

z = 1,44

Antwoord

z = 1,44

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 81,4 punten

Oppervlak links

Φ(z) = 0,95

z uit de tabel

z ≈ 1,64

Terug naar de oorspronkelijke eenheden

x = 65 + 1,64·10 = 81,4 punten

Antwoord

x = 81,4 punten

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: bovengrens = 64,51

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Foutmarge

E = 1,729·6,5/√20 = 2,513

Interval

62 ± 2,513 → [59,49, 64,51]

Antwoord

bovengrens = 64,51

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 48

n oplossen

n = (1,645·21/5)² = 47,73

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 48

Antwoord

n = 48

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: t = 1,19

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429

Toetsingsgrootheid

t = (101,7 − 100)/1,429 = 1,19

Antwoord

t = 1,19

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: L = 101,6

Foutmarge

E = 2,576·15/√16 = 9,66

Intervalgrens

L = 111,3 − 9,66 = 101,6

Antwoord

L = 101,6

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9964

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 180/6 = 30

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 280

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1128

Correlatiecoëfficiënt

r = 280/√(70·1128) = 0,9964

Antwoord

r = 0,9964

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 6,947

Gemiddelden

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 76/5 = 15,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76

Regressielijn

b = 76/40 = 1,9

a = 15,2 − 1,9·6 = 3,8

ŷ = 3,8 + 1,9·x

Los op naar x

x = (17 − 3,8)/1,9 = 6,947

Antwoord

x = 6,947

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1