Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 39, 45, 50, 15, 42, 22, 42.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 100. Welk deel P van de waarden ligt onder 400?

μ = 500σ = 100x = 400

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,35, 0,35, 0,05

σ =

4.KansrekeningMoeilijk

Een toets heeft 11 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,1. Wat is de kans P op precies 4 goede antwoorden?

n = 11p = 0,1k = 4

P =

5.Normale verdelingGemiddeld

X is normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 4 g; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 500 g en standaardafwijking 9 g. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 769,7 g. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 769,7 g

P =

6.Normale verdelingMoeilijk

De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 25% ervan ligt (het 25e percentiel).

μ = 178σ = 7P = 25%

x = cm

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 11 items heeft gemiddelde 52 en standaardafwijking s = 13. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 11x̄ = 52s = 1390%t(10) = 1,812

ondergrens =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 10. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?

σ = 10E = 399%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 50 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 20. Een aselecte steekproef van 64 waarnemingen heeft een gemiddelde van 55. Toets H₀: μ = 50 tegen H₁: μ ≠ 50. Bereken de p-waarde p.

μ₀ = 50σ = 20n = 64x̄ = 55H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft? De standaardafwijking is 4. Bereken de kleinste steekproefomvang n.

σ = 4E = 395%

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 64?

n = 5ŷ = 64

x =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 12,87

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 255/7 = 36,43

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 2,571² + 8,571² + 13,57² + (−21,43)² + 5,571² + (−14,43)² + 5,571² = 993,7

Standaardafwijking

s = √(993,7/6) = 12,87

Antwoord

s = 12,87

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,1587

Standaardiseren

z = −1

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Antwoord

P = 0,1587

3.Kansrekening

Antwoord: σ = 0,8718

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Gemiddelde

μ = 0·0,25 + 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,05 = 1,2

Gemiddelde van de kwadraten

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,05 = 2,2

Variantie

Var(X) = 2,2 − 1,2² = 0,76

σ = √0,76 = 0,8718

Antwoord

σ = 0,8718

4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,01578

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 4) = 330·0,1⁴·0,9⁷ = 330·0,0001·0,4783 = 0,01578

Antwoord

P = 0,01578

5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,02275

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standaardiseren

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Rechterstaart

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Antwoord

P = 0,02275

6.Normale verdeling

Antwoord: x = 173,3 cm

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Terug naar x

x = 178 + −0,6745·7 = 173,28 cm

Antwoord

x = 173,28 cm

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: ondergrens = 44,9

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Foutmarge

E = 1,812·13/√11 = 7,102

Interval

52 ± 7,102 → [44,9, 59,1]

Antwoord

ondergrens = 44,9

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 74

n oplossen

n = (2,576·10/3)² = 73,73

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 74

Antwoord

n = 74

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: p = 0,0455

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Toetsingsgrootheid

SE = σ/√n = 20/√64 = 2,5

z = (55 − 50)/2,5 = 2

Staartoppervlakte

Φ(2) = 0,9772

1 − Φ(2) = 0,0228

p-waarde

p = 2·0,0228 = 0,0455

Antwoord

p = 0,0455

p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 7

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

n oplossen

n = (1,96·4/3)² = 6,83

Naar boven afronden

n = 7

Antwoord

n = 7

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9579

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 438/6 = 73

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 91

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 494

Determinatiecoëfficiënt

r² = 91²/(17,5·494) = 0,9579

Antwoord

r² = 0,9579

Ongeveer 95,79% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: x = 3,542

Gemiddelden

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 331/5 = 66,2

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48

Regressielijn

b = 48/10 = 4,8

a = 66,2 − 4,8·4 = 47

ŷ = 47 + 4,8·x

Los op naar x

x = (64 − 47)/4,8 = 3,542

Antwoord

x = 3,542

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1