Zadania do ćwiczeń z AP Calculus: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Ciągi i szeregi

Ciąg arytmetyczny: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności: R = lim |c_k/c_k+1|
Wielomian Taylora: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metoda

Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (4x³ + x − 1)/(3x³ + 6x + 6).

f(x) = (4x³ + x − 1)/(3x³ + 6x + 6)x → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(3x), z x w radianach.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(3x)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = ln(3x² + 4). Wyznacz f′(−1).

f(x) = ln(3x² + 4)x = −1

f′(−1) =

4.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2. Wyznacz współrzędną x x maksimum lokalnego.

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2

x =

5.OptymalizacjaŚredni

Otwarte pudełko (bez pokrywki) o kwadratowej podstawie ma mieścić 32000 cm³. Zużyj jak najmniej materiału, czyli zminimalizuj sumę pola podstawy i czterech ścian bocznych. Wyznacz bok podstawy x.

V = 32000 cm³

x = cm

6.OptymalizacjaTrudny

Teatr sprzedaje 1200 biletów na przedstawienie po €15 za sztukę. Badanie rynku pokazuje, że każdy wzrost ceny biletu o €1 oznacza 50 sprzedanych biletów mniej (a każda obniżka o €1 – 50 więcej). Wyznacz cenę biletu p, która maksymalizuje przychód.

1200 × €1550 / €1

p = €

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀² 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 2]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru ograniczonego przez y = 2x² i y = 3x.

y = 2x²y = 3x

A =

9.Równania różniczkoweŚredni

Rozwiąż y″ + 6y′ + 8y = 0 z y(0) = 4 i y′(0) = 4. Wyznacz y(1,5).

y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 4y′(0) = 4

y(1.5) =

10.Równania różniczkoweTrudny

Rozwiąż zagadnienie początkowe y′ + y/x = 4x dla x > 0, z y(1) = 2. Wyznacz y(2).

y′ + y/x = 4xy(1) = 2

y(2) =

11.Ciągi i szeregiŚredni

Znajdź sumę S = Σ_k=1^∞ 2/(k(k + 4)).

a_k = 2/(k(k + 4))

S =

12.Ciągi i szeregiTrudny

Funkcję f(x) = sin x przybliżono w x = 1 jej wielomianem Maclaurina stopnia n. Z oszacowaniem Lagrange’a M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! i M = 1 znajdź najmniejszy stopień n, który gwarantuje błąd poniżej 1 × 10⁻⁵.

f(x) = sin xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁵

n =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 1,333

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Podziel przez najwyższą potęgę

(4 + 1/x² + (−1)/x³)/(3 + 6/x² + 6/x³)

Niech x → ∞

L = 4/3 = 1,333

Odpowiedź

L = 1,333

Przy równych stopniach granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach.

2.Granice

Odpowiedź: L = 1,667

Reguła de l'Hospitala

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[3·cos 3x]

Podstaw x = 0

L = 5/3 = 1,667

Odpowiedź

L = 1,667

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(−1) = −0,8571

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła łańcuchowa dla logarytmu

f′(x) = 6x/(3x² + 4)

Podstaw

f′(−1) = −6/7 = −0,8571

Odpowiedź

f′(−1) = −0,8571

4.Pochodne

Odpowiedź: x = −1

Pochodna

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3·(x² − 2x − 3)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = −1 lub x = 3

Które jest które

f″(x) = 6x − 6: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(−1) = −12, f″(3) = 12

x = −1

Odpowiedź

x = −1

5.Optymalizacja

Odpowiedź: x = 40 cm

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja x

S(x) = x² + 128000/x

Przyrównaj pochodną do zera

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, więc jest to minimum.

x³ = 64000 → x = 40 cm

Wysokość i pole

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

Odpowiedź

x = 40 cm

Najlepsze otwarte pudełko ma wysokość równą połowie szerokości.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: p = 19,5 €

Przychód jako funkcja ceny

n(p) = 1950 − 50p

R(p) = 1950p − 50p²

Przyrównaj pochodną do zera

R″(p) = −100 < 0, więc jest to maksimum.

p = 1950/100 = €19,5

Maksymalny przychód

n = 1950 − 50·19,5 = 975

R = 19,5·975 = €19013

Odpowiedź

p = €19,5

7.Całki

Odpowiedź: I = 12

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Podstawienie

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u¹ du

Scałkuj i podstaw granice

I = [u²/2]₁⁵ = (25 − 1)/2 = 12

Odpowiedź

I = 12

8.Całki

Odpowiedź: A = 1,125

Punkty przecięcia

2x² = 3x → x = 0, x = 1,5

Całkuj górną minus dolną

A = [1,5x² − 0,6667x³]₀^1,5 = 1,125

Odpowiedź

A = 1,125

9.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(1.5) = 0,483

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = e^rt: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·e^rt (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Pierwiastki charakterystyczne

(r + 2)(r + 4) = 0 → r = −2, −4

Stałe z wartości początkowych

A + B = 4, −2A − 4B = 4

A = 10, B = −6

Oblicz

y(1,5) = 10·e⁻³ + (−6)·e⁻⁶ = 0,483

Odpowiedź

y(1,5) = 0,483

10.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(2) = 5,667

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Czynnik całkujący

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Całkuj

(x¹y)′ = 4x² → x¹y = 4x³/3 + C

Warunek początkowy

2 = 4/3 + C → C = 0,6667

Oblicz

y(2) = (4·2³/3 + 0,6667)/2¹ = 5,667

Odpowiedź

y(2) = 5,667

11.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: S = 1,042

Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σc_k(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |c_k/c_k+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.

Ułamki proste

2/(k(k + 4)) = (2/4)·(1/k − 1/(k + 4))

Anuluj

S = (2/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 1,042

Odpowiedź

S = 1,042

12.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: n = 8

Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.

Oszacowania dla rosnących n

n = 7: 2,48 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵

n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

Najmniejszy stopień

n = 8

Odpowiedź

n = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice