Zadania do ćwiczeń z AP Calculus: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Granice

Bezpośrednie podstawienie: najpierw spróbuj x = a; 0/0 oznacza, że trzeba uprościć
Rozłóż na czynniki i skróć: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sprzężenie: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Granice w nieskończoności: podziel przez najwyższą potęgę x; przy równych stopniach wynikiem jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Granica specjalna: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Reguła de l'Hospitala: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Optymalizacja

Metoda: zapisz Q(x) jako funkcję jednej zmiennej, rozwiąż Q′(x) = 0, sprawdź Q″ lub krańce przedziału
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Zamknięty walec: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Zysk: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Ciągi i szeregi

Ciąg arytmetyczny: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Ciąg geometryczny: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Nieskończony szereg geometryczny: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Szereg p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Promień zbieżności: R = lim |c_k/c_k+1|
Wielomian Taylora: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Szereg Maclaurina: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Oszacowanie Lagrange’a: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metoda

Rozpoznaj typ: arytmetyczny (stała różnica), geometryczny (stały iloraz), szereg standardowy, szereg potęgowy lub wielomian Taylora.
Dla sum użyj Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) albo S = a₁/(1 − r), gdy |r| < 1, gdzie a₁ to pierwszy wyraz sumy.
Dla zbieżności: najpierw warunek konieczny, potem porównanie z Σ1/kᵖ lub szeregiem geometrycznym, a dla silni i potęg o wykładniku k użyj kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego.
Dla wielomianów Taylora wypisz f(a), f′(a), f″(a), …, podziel k-tą pochodną przez k! i oszacuj błąd przez M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Zadania do ćwiczenia

1.GraniceŚredni

Oblicz granicę L = lim_x→∞ (6x³ − 2x + 8)/(5x³ + 2x + 9).

f(x) = (6x³ − 2x + 8)/(5x³ + 2x + 9)x → ∞

L =

2.GraniceTrudny

Oblicz granicę L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(2x²), z x w radianach.

f(x) = (1 − cos 4x)/(2x²)x → 0

L =

3.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x·sin(x), x w radianach. Wyznacz f′(0,5).

f(x) = x·sin(x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

4.PochodneTrudny

Dana jest funkcja f(x) = x³ + 7,5x² + 18x + 2. Wyznacz współrzędną x x minimum lokalnego.

f(x) = x³ + 7,5x² + 18x + 2

x =

5.OptymalizacjaŚredni

Zamknięta puszka walcowa (z wieczkiem i dnem) ma mieścić 500 cm³. Zużyty metal jest proporcjonalny do całkowitego pola powierzchni. Wyznacz najmniejsze możliwe pole powierzchni A.

V = 500 cm³

A = cm²

6.OptymalizacjaTrudny

Mała firma sprzedaje swój produkt po stałej cenie rynkowej €70 za sztukę. Wyprodukowanie q sztuk kosztuje C(q) = 1600 + 54q + 0,02q² euro. Wyznacz maksymalny zysk P.

p = €70C = 1600 + 54q + 0,02q²

P = €

7.CałkiŚredni

Oblicz I = ∫₀² e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 2]

I =

8.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 9 − x² a osią x.

y = 9 − x²

A =

9.Równania różniczkoweŚredni

Odkuwkę stalową o temperaturze 480 °C zostawiono do ostygnięcia w warsztacie o temperaturze 23 °C. Po 47 min jej temperatura wynosi 93 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Po jakim czasie od początku, t, osiągnie 62 °C?

T₀ = 480 °CT_a = 23 °CT(47) = 93 °CT = 62 °C

t = min

10.Równania różniczkoweTrudny

Rozwiąż zagadnienie początkowe y′ + y/x = 4 dla x > 0, z y(1) = 2. Wyznacz y(3).

y′ + y/x = 4y(1) = 2

y(3) =

11.Ciągi i szeregiŚredni

Znajdź promień zbieżności R szeregu potęgowego Σ_k=1^∞ (2k)!·xᵏ/(k!)².

Σ (2k)!·xᵏ/(k!)²x₀ = 0

R =

12.Ciągi i szeregiTrudny

Funkcję f(x) = eˣ przybliżono w x = 0,5 jej wielomianem Maclaurina stopnia n. Z oszacowaniem Lagrange’a M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! i M = 2 znajdź najmniejszy stopień n, który gwarantuje błąd poniżej 1 × 10⁻⁵.

f(x) = eˣx = 0,5M = 2ε = 1 × 10⁻⁵

n =

3Roztwory

1.Granice

Odpowiedź: L = 1,2

Granice: najpierw spróbuj bezpośredniego podstawienia. Jeśli daje 0/0, najpierw uprość: rozłóż na czynniki i skróć wspólny czynnik albo pomnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x. Reguła de l'Hospitala: jeśli f/g daje 0/0 lub ∞/∞, to lim f/g = lim f′/g′, przy czym licznik i mianownik różniczkuje się osobno (nie regułą ilorazu).

Podziel przez najwyższą potęgę

(6 + (−2)/x² + 8/x³)/(5 + 2/x² + 9/x³)

Niech x → ∞

L = 6/5 = 1,2

Odpowiedź

L = 1,2

Przy równych stopniach granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach.

2.Granice

Odpowiedź: L = 4

Pierwsze zastosowanie

4·sin 4x/(4x) → 0/0

Drugie zastosowanie

16·cos 4x/4

Podstaw x = 0

L = 16/4 = 4

Odpowiedź

L = 4

3.Pochodne

Odpowiedź: f′(0.5) = 0,9182

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu i łańcuchowa

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Podstaw

f′(0,5) = 0,4794 + 0,5·0,8776 = 0,9182

Odpowiedź

f′(0,5) = 0,9182

4.Pochodne

Odpowiedź: x = −2

Pochodna

f′(x) = 3x² + 15x + 18 = 3·(x² + 5x + 6)

Rozwiąż f′(x) = 0

x = −3 lub x = −2

Które jest które

f″(x) = 6x + 15: ujemna w maksimum, dodatnia w minimum.

f″(−3) = −3, f″(−2) = 3

x = −2

Odpowiedź

x = −2

5.Optymalizacja

Odpowiedź: A = 348,7 cm²

Optymalizacja: zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej, używając warunku ograniczającego do wyeliminowania drugiej. Przyrównaj pochodną do zera i rozwiąż. Sprawdź, czy punkt krytyczny jest maksimum lub minimum (druga pochodna lub zmiana znaku pierwszej pochodnej) i czy leży w dopuszczalnym przedziale; kraniec przedziału, taki jak zerowa długość boku, nie jest odpowiedzią.

Pole jako funkcja r

h = 500/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1000/r

Przyrównaj pochodną do zera

A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0, więc jest to minimum.

4πr − 1000/r² = 0 → r = ∛(500/(2π)) = 4,301 cm

Wysokość i pole

h = 500/(π·4,301²) = 2r = 8,603 cm

A = 2π·4,301² + 1000/4,301 = 348,7 cm²

Odpowiedź

A = 348,7 cm²

Najtańsza zamknięta puszka jest tak wysoka, jak szeroka: h = 2r.

6.Optymalizacja

Odpowiedź: P = 1600 €

Funkcja zysku

P(q) = 70q − (1600 + 54q + 0,02q²) = −0,02q² + 16q − 1600

Przyrównaj pochodną do zera

P″(q) = −0,04 < 0, więc jest to maksimum.

16 − 0,04q = 0 → q = 400

Maksymalny zysk

P = 16·400 − 0,02·400² − 1600 = €1600

Odpowiedź

P = €1600

7.Całki

Odpowiedź: I = 0,8647

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Funkcja pierwotna

F(x) = e^−x/(−1)

Podstaw granice

I = (e⁻² − 1)/(−1) = (0,1353 − 1)/(−1) = 0,8647

Odpowiedź

I = 0,8647

8.Całki

Odpowiedź: A = 36

Miejsca zerowe

9 − x² = 0 → x = ±3

Całkuj

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Odpowiedź

A = 36

9.Równania różniczkowe

Odpowiedź: t = 61,65 min

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Stała stygnięcia

k = ln(457/70)/47 = 0,03992 min⁻¹

Czas do osiągnięcia celu

t = ln(457/39)/0,03992 = 61,65 min

Odpowiedź

t = 61,65 min

10.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(3) = 6

Czynnik całkujący

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Całkuj

(x¹y)′ = 4x → x¹y = 4x²/2 + C

Warunek początkowy

2 = 4/2 + C → C = 0

Oblicz

y(3) = (4·3²/2 + 0)/3¹ = 6

Odpowiedź

y(3) = 6

11.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: R = 0,25

Zbieżność: jeśli wyrazy nie dążą do 0, szereg jest rozbieżny (warunek konieczny). Σ1/kᵖ jest zbieżny tylko dla p > 1, a Σrᵏ tylko dla |r| < 1. Porównaj szereg z jednym z tych, gdy jego wyrazy dla dużych k zachowują się jak one. Kryterium d’Alemberta: L = lim |a_k+1/a_k|; kryterium Cauchy’ego: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 oznacza zbieżność, L > 1 rozbieżność, L = 1 nie rozstrzyga. Szereg potęgowy Σc_k(x − x₀)ᵏ jest zbieżny dla |x − x₀| < R, gdzie R = lim |c_k/c_k+1|; szereg naprzemienny o wyrazach malejących do 0 jest zbieżny.

Współczynniki

c_k+1/c_k = (2k + 2)(2k + 1)/(k + 1)² → 4, więc R = 1/4

Promień

R = 0,25

Odpowiedź

R = 0,25

Kryterium d’Alemberta nic nie mówi w obu punktach końcowych; trzeba je sprawdzić osobno.

12.Ciągi i szeregi

Odpowiedź: n = 6

Wielomiany Taylora: w pobliżu x = a funkcję gładką przybliża Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; dla a = 0 jest to wielomian Maclaurina. Szeregi standardowe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Oszacowanie reszty Lagrange’a: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, gdzie M to największa wartość |f⁽ⁿ⁺¹⁾| między a i x.

Oszacowania dla rosnących n

n = 5: 4,34 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵

n = 6: 3,1 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

Najmniejszy stopień

n = 6

Odpowiedź

n = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice