Inwestujesz €3 000 przy nominalnej stopie 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 7 latach.
PV = €3 0004,8% / 12n = 7
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Pożyczasz €8 000 przy 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €125 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.
P = €8 000A = €1256% / 12
N = raty
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €60 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €20 000, €16 000, €23 000, €24 000. Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €18 000, €11 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −25 000CF1 = 18 000CF2 = 11 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 9 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 2,5%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 4%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 7%n = 9y0 = 2,5%y1 = 4%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 3 latach, a jej cena wynosi €975. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 8%n = 3P = €975
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €2 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 4,5%, a stopa podatkowa 28%. Wyznacz WACC.
Spółka ma 4 000 000 akcji po €35,00 za sztukę i 40 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3,5%, a stopa podatkowa 25%. Współczynnik beta akcji to 0,6, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a stopa zwrotu z rynku 10,5%. Wyznacz WACC.
β = 0,6rf = 3,5%rm = 10,5%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 34, 14, 14, 28, 45, 37.
n = 6
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 8. Wyznacz wynik z z dla wyniku 68.
μ = 60σ = 8x = 68
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 7 kul czerwonych i 5 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
7 / 5
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
X ma pokazany rozkład, a Y = 2X − 3. Wyznacz odchylenie standardowe σY zmiennej Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,3, 0,35, 0,25Y = 2X − 3
σY =
13.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,9216. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,9216
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 70% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 100 pktσ = 15 pkt70%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 13 elementów ma średnią 82 i odchylenie standardowe s = 7,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 13x̄ = 82s = 7,595%t(12) = 2,179
dolna granica =
16.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 11 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 7,6 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 10 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 3,247, a 2,5 % powyżej 20,483.
n = 11s = 7,6 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 64 studentów ma średni wynik 81 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 81s = 20n = 64
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 90 z 200 pacjentów leczonych metodą A i 114 z 200 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 90n₁ = 200x₂ = 114n₂ = 200
z =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5Σx = 25Σy = 149Σx² = 165Σy² = 4647Σxy = 835
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (7, 70). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(7, 70)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 4195 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Przekształć wzór na rentę
i = 0,005
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0,005/125 = 0,68
Rozwiąż za pomocą logarytmów
N = −ln(0,68)/ln(1,005) = 77,33
Zaokrąglij w górę do pełnych rat
77 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.
N = 78
Odpowiedź
N = 78 raty
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 11429 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 20 000/1,06 = 18 867,92
CF2/(1 + 0,06)2 = 16 000/1,124 = 14 239,94
CF3/(1 + 0,06)3 = 23 000/1,191 = 19 311,24
CF4/(1 + 0,06)4 = 24 000/1,262 = 19 010,25
Zsumuj
NPV = €11 429,36
Odpowiedź
NPV = €11 429,36
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 11,47 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(10%) = 454,55
NPV(15%) = −1 030,25
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€975 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Rozwiąż numerycznie
P(8%) = €1 000,00, P(9%) = €974,69
YTM = 8,987%
Odpowiedź
YTM = 8,987%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,12 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·13% + 0,5·4,5%·(1 − 0,28) = 8,12%
Odpowiedź
WACC = 8,12%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 6,572 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (68 − 60)/8 = 1
Odpowiedź
z = 1
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,3182
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0,3182
Odpowiedź
P = 0,3182
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σY = 1,884
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Rozrzut X
μ = 1,75, Var(X) = 0,8875, σX = 0,9421
Zmiana liniowa
σY = |2|·0,9421 = 1,884
Odpowiedź
σY = 1,884
Średnia się przesuwa: E(Y) = 2·1,75 − 3 = 0,5.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = 1,76
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = (1 + 0,9216)/2 = 0,9608
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,9608 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 1,76
Odpowiedź
z = 1,76
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 92,2 pkt
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,3
z z tablicy
z ≈ −0,52
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 100 − 0,52·15 = 92,2 pkt
Odpowiedź
x = 92,2 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 77,47
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Margines błędu
E = 2,179·7,5/√13 = 4,533
Przedział
82 ± 4,533 → [77,47, 86,53]
Odpowiedź
dolna granica = 77,47
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 5,31 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 10·7,6² = 577,6
Granice dla σ²
577,6/20,483 = 28,2
577,6/3,247 = 177,9
Granica dla σ
σ = √28,2 = 5,31 µm
Odpowiedź
σ = 5,31 µm
Przedział 95 % dla σ: [5,31, 13,34] µm.
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,4
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5
Statystyka testowa
t = (81 − 75)/2,5 = 2,4
Odpowiedź
t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −2,4
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 90/200 = 0,45
p̂₂ = 114/200 = 0,57
p̂ = 204/400 = 0,51
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,51·0,49·(1/200 + 1/200)) = 0,04999
Statystyka testowa
z = (0,45 − 0,57)/0,04999 = −2,4
Odpowiedź
z = −2,4
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9895
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 835 − 25·149/5 = 90
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 4647 − 149²/5 = 206,8
Współczynnik korelacji
r = 90/√(40·206,8) = 0,9895
Odpowiedź
r = 0,9895
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = −3,833
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.