Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 21 % rocznie z kapitalizacją dziennie. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.
r = 21%m = 365
EAR = %
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Na początku każdego roku przez 30 lat wpłacasz €2 500, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 6 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 30? Wyznacz FV.
A = €2 500i = 6%n = 30
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €30 000 i przynosi €10 500, €12 500, €13 000, €6 500 na koniec lat od 1 do 4. Koszt kapitału wynosi 5 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €9 000, €14 000, €8 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 14 000CF3 = 8 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 6 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4,5%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 6%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 7,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 4,5%n = 6y0 = 6%y1 = 7,5%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 3% zostanie wykupiona po 6 latach, a jej cena wynosi €1 055. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 3%n = 6P = €1 055
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €6 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.
Akcje firmy mają betę 1,4 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,2. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 0,75. Stawka podatku wynosi 25,8%, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a rynkowa premia za ryzyko 6,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego re po zmianie.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 27, 13, 58, 20, 16, 15.
n = 6
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 12. Wyznacz wynik z z dla wyniku 94.
μ = 70σ = 12x = 94
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 6 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 6
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
X ma pokazany rozkład, a Y = 5X − 3. Wyznacz odchylenie standardowe σY zmiennej Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,2, 0,25, 0,25Y = 5X − 3
σY =
13.Rozkład normalnyŚredni
Masy pudeł są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 12 kg i odchyleniem standardowym 0,8 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 12 z nich będzie mniejsza niż 148,2 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12< 148.2 kg
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,03 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,01 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
otwór: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 21 elementów ma średnią 45 i odchylenie standardowe s = 9. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 21x̄ = 45s = 999%t(20) = 2,845
górna granica =
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 21. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 5?
σ = 21E = 595%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 64 studentów ma średni wynik 125,4 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 125,4s = 15n = 64
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 120 z 200 pacjentów leczonych metodą A i 128 z 250 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 120n₁ = 200x₂ = 128n₂ = 250
z =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (6,5, 55). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(6,5, 55)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: EAR = 23,36 %
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa na okres
r/m = 0,21/365 = 0,0005753
Kapitalizacja w ciągu roku
EAR = (1 + 0,0005753)365 − 1 = 1,234 − 1 = 23,36%
Odpowiedź
EAR = 23,36%
Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 209504 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik renty zwykłej
((1 + 0,06)30 − 1)/0,06 = 79,06
Renta płatna z góry
Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.
FV = 2 500·79,06·1,06 = €209 504,19
Odpowiedź
FV = €209 504,19
3.NPV i IRR
Odpowiedź: DPB = 2,771 lata
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 10 500/1,05 = 10 000,00 → Σ = 10 000,00
rok 2: 12 500/1,103 = 11 337,87 → Σ = 21 337,87
rok 3: 13 000/1,158 = 11 229,89 → Σ = 32 567,76
Ułamek ostatniego roku
DPB = 2 + 8 662,13/11 229,89 = 2,771
Odpowiedź
DPB = 2,771 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (2,538 lat).
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 26,71 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(25%) = 512,00
NPV(30%) = −923,99
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
IRR ≈ 25 + 5·512,00/(512,00 − (−923,99)) = 26,78%
dokładnie: NPV(26,71%) = 0 → IRR = 26,71%
Odpowiedź
IRR = 26,71%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: HPR = −0,2825 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 055 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Rozwiąż numerycznie
P(2%) = €1 056,01, P(3%) = €1 000,00
YTM = 2,018%
Odpowiedź
YTM = 2,018%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,685 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·10% + 0,25·6%·(1 − 0,21) = 8,685%
Odpowiedź
WACC = 8,685%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 13,83 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Usuń dźwignię z bety
βU = 1,4/(1 + 0,742·0,2) = 1,219
Zlewaruj ponownie przy nowym D/E
βL = 1,219·(1 + 0,742·0,75) = 1,898
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 1,5% + 1,898·6,5% = 13,83%
Odpowiedź
re = 13,83%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 16,99
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (94 − 70)/12 = 2
Odpowiedź
z = 2
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,6651
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Odpowiedź
P = 0,6651
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σY = 5,804
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Rozrzut X
μ = 1,45, Var(X) = 1,348, σX = 1,161
Zmiana liniowa
σY = |5|·1,161 = 5,804
Odpowiedź
σY = 5,804
Średnia się przesuwa: E(Y) = 5·1,45 − 3 = 4,25.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,9357
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy całkowitej
μT = 144 kg, σT = 0,8·√12 = 2,771 kg
Standaryzuj
z = (148,2 − 144)/2,771 = 1,52
Prawdopodobieństwo
P = Φ(1,52) = 0,9357
Odpowiedź
P = 0,9357
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,9099
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm
Standaryzuj
z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099
Odpowiedź
P = 0,9099
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 50,59
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Margines błędu
E = 2,845·9/√21 = 5,587
Przedział
45 ± 5,587 → [39,41, 50,59]
Odpowiedź
górna granica = 50,59
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 68
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,96·21/5)² = 67,77
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 68
Odpowiedź
n = 68
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,88
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875
Statystyka testowa
t = (125,4 − 120)/1,875 = 2,88
Odpowiedź
t = 2,88
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 1,865
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 120/200 = 0,6
p̂₂ = 128/250 = 0,512
p̂ = 248/450 = 0,5511
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,5511·0,4489·(1/200 + 1/250)) = 0,04719
Statystyka testowa
z = (0,6 − 0,512)/0,04719 = 1,865
Odpowiedź
z = 1,865
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9943
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 582/6 = 97
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 476
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3274
Współczynnik korelacji
r = 476/√(70·3274) = 0,9943
Odpowiedź
r = 0,9943
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = 2,243
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.