Inwestujesz €1 000 przy nominalnej stopie 4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 4 latach.
PV = €1 0004% / 12n = 4
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt hipoteczny €300 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 20 lat przy 2,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile pozostaje do spłaty tuż po racie na koniec roku 8? Wyznacz saldo zadłużenia B.
P = €300 0002,4% / 12N = 240k = 96
B = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €10 000, €11 000, €12 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €20 500, €18 500, €24 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −50 000CF1 = 20 500CF2 = 18 500CF3 = 24 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4,5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 3 latach. Rentowność do wykupu wynosi 7% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 4,5%YTM = 7%n = 3
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 5 lat. Kosztuje €915. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.
F = €1 000kupon = 4% (2×)n = 5P = €915
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma kapitał własny o wartości €6 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej WACC wynosi 9,09%, koszt długu przed opodatkowaniem 4,5%, a stawka podatku 20%. Wyznacz koszt kapitału własnego re.
Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,7. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,4. Stawka podatku wynosi 30%, stopa wolna od ryzyka 4%, a rynkowa premia za ryzyko 7%. Wyznacz koszt kapitału własnego re przy nowej strukturze kapitału.
βU = 0,7D/E = 0,4T = 30%rf = 4%rm − rf = 7%
re = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 23, 21, 36, 60, 20.
n = 5
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 10. Wyznacz wynik z z dla wyniku 58.
μ = 70σ = 10x = 58
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 5
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 8 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,6. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 8p = 0,6
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
X ma rozkład normalny ze średnią 12 min i odchyleniem standardowym 1,5 min; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 20 min i odchyleniem standardowym 2 min. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 35,1 min. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 35,1 min
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 95% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 65 pktσ = 10 pkt95%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
U 13 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią −5,1 i odchylenie standardowe 3,5. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.
n = 13d̄ = −5,1sd = 3,599%t(12) = 3,055
górna granica = mmHg
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 34. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?
σ = 34E = 0,599%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 7 uczniów, średni wynik 32,5, odchylenie standardowe 3. Grupa 2: 5 uczniów, średni wynik 28,8, odchylenie standardowe 3. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).
n₁ = 7x̄₁ = 32,5s₁ = 3n₂ = 5x̄₂ = 28,8s₂ = 3
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 25 pomiarów ma średnią 43,4. Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 43,4σ = 15n = 2590%
L =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 5
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 8.
n = 5x = 8
ŷ =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 1173 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
To, co pozostaje do spłaty, musi zostać dokładnie spłacone pozostałymi ratami.
N − k = 240 − 96 = 144
B = 1575·(1 − (1 + 0,002)−144)/0,002 = €196 909,68
Odpowiedź
B = €196 909,68
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −16784 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 10 000/1,08 = 9 259,26
CF2/(1 + 0,08)2 = 11 000/1,166 = 9 430,73
CF3/(1 + 0,08)3 = 12 000/1,26 = 9 525,99
Zsumuj
NPV = €−16 784,03
Odpowiedź
NPV = €−16 784,03
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 12,55 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(10%) = 2 332,83
NPV(15%) = −2 076,11
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €22,50, i = 0,035, N = 6
Wartość bieżąca kuponów
€22,50·(1 − 0,8135)/0,035 = €119,89
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,8135 = €813,50
Cena
P = €933,39
Odpowiedź
P = €933,39
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 5,993 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €20,00, N = 10
Rozwiąż numerycznie
i = 2,996% na półrocze
YTM
YTM = 2·2,996% = 5,993%
Odpowiedź
YTM = 5,993%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 10,01 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
Część dłużna WACC
0,1429·4,5%·(1 − 0,2) = 0,5143%
Koszt kapitału własnego
re = (9,09% − 0,5143%)/0,8571 = 10,01%
Odpowiedź
re = 10,01%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 10,27 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Beta lewarowana
βL = 0,7·(1 + 0,7·0,4) = 0,896
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 4% + 0,896·7% = 10,27%
Odpowiedź
re = 10,27%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 16,93
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (58 − 70)/10 = −1,2
Odpowiedź
z = −1,2
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,5981
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Odpowiedź
P = 0,5981
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,00852
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,48 = 0,0006554
P(X = 1) = 8·0,6·0,47 = 0,007864
Dodaj
P = 0,0006554 + 0,007864 = 0,00852
Odpowiedź
P = 0,00852
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,1075
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standaryzuj
z = (35,1 − 32)/2,5 = 1,24
Górny ogon
P = 1 − Φ(1,24) = 1 − 0,8925 = 0,1075
Odpowiedź
P = 0,1075
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 81,4 pkt
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,95
z z tablicy
z ≈ 1,64
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 65 + 1,64·10 = 81,4 pkt
Odpowiedź
x = 81,4 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = −2,134 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 12, t = 3,055
Margines błędu
E = 3,055·3,5/√13 = 2,966
Przedział
−5,1 ± 2,966 → [−8,066, −2,134]
Odpowiedź
górna granica = −2,134 mmHg
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 30684
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (2,576·34/0,5)² = 30684
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 30684
Odpowiedź
n = 30684
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,106
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Wariancja łączna
sp² = (6·3² + 4·3²)/10 = 9
sp = 3
Błąd standardowy
SE = 3·√(1/7 + 1/5) = 1,757
Statystyka testowa
t = (32,5 − 28,8)/1,757 = 2,106
Odpowiedź
t = 2,106
Przy df = 10 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,228; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: L = 38,46
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,645·15/√25 = 4,935
Granica przedziału
L = 43,4 − 4,935 = 38,46
Odpowiedź
L = 38,46
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9787
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 340/5 = 68
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 218
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1214
Współczynnik determinacji
r² = 218²/(40·1214) = 0,9787
Odpowiedź
r² = 0,9787
Około 97,87% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 70,9
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.