Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €20 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 1,5 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 5,5 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €20 000g = 1,5%r = 5,5%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Odkładasz €50 na koniec każdego miesiąca przez 7 lat. Konto daje 7,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.
A = €507,2% / 12N = 84
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €80 000, działa przez 9 lat, a jej eksploatacja kosztuje €4 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.
C0 = €80 000M = €4 000n = 9r = 10%
EAC = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €7 000, €6 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 6 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 3 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 8%YTM = 3%n = 3
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 9 lat. Kosztuje €1 120. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.
F = €1 000kupon = 4% (2×)n = 9P = €1 120
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Akcja o becie 0,6 ma wymaganą stopę zwrotu 6,4%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 2,5%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku rm implikuje CAPM?
β = 0,6re = 6,4%rf = 2,5%
rm = %
8.CAPM i WACCTrudny
Firma ma 1 000 000 akcji notowanych po €48,50; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €19 400 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €1,70 na akcję, a dywidendy rosną o 4% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €48 500 000 i koszt przed opodatkowaniem 6%. Stawka podatku wynosi 30%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 10, 22, 20, 39, 59.
n = 5
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 8. Wyznacz wynik z z dla wyniku 53,6.
μ = 60σ = 8x = 53,6
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 3 kul czerwonych i 6 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
3 / 6
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Gra kosztuje €5. Wygrywasz €20 z prawdopodobieństwem 0,15 i €50 z prawdopodobieństwem 0,05; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.
stawka = €5€20: p = 0,15€50: p = 0,05
E(G) = €
13.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,8584. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,8584
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 15% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 65 pktσ = 10 pkt15%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 6 elementów ma średnią 22 i odchylenie standardowe s = 17. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 6x̄ = 22s = 1795%t(5) = 2,571
E =
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 38. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?
σ = 38E = 190%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 25 studentów ma średni wynik 198,2 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 198,2s = 4n = 25
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 5 jednostek z mocą 95 %. Odchylenie standardowe wynosi 26. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,01moc = 95%δ = 5σ = 26zα = 2,326zβ = 1,645
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (3,5, 19). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 19)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 500000 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − 1,1−9)/0,1 = 5,759
Zannualizowana cena zakupu
80 000/5,759 = 13 891,24
EAC
EAC = 13 891,24 + 4 000 = €17 891,24
Odpowiedź
EAC = €17 891,24
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 20 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(20%) = 0,00
NPV(25%) = −560,00
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
IRR ≈ 20 + 5·0,00/(0,00 − (−560,00)) = 20%
dokładnie: NPV(20%) = 0 → IRR = 20%
Odpowiedź
IRR = 20%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 1142 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €40,00, i = 0,015, N = 6
Wartość bieżąca kuponów
€40,00·(1 − 0,9145)/0,015 = €227,89
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,9145 = €914,54
Cena
P = €1 142,43
Odpowiedź
P = €1 142,43
Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 2,503 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €20,00, N = 18
Rozwiąż numerycznie
i = 1,251% na półrocze
YTM
YTM = 2·1,251% = 2,503%
Odpowiedź
YTM = 2,503%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: rm = 9 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Rynkowa premia za ryzyko
rm − rf = (6,4% − 2,5%)/0,6 = 6,5%
Stopa zwrotu z rynku
rm = 2,5% + 6,5% = 9%
Odpowiedź
rm = 9%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 5,923 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału własnego
D1 = 1,7·1,04 = €1,77
re = 1,768/48,5 + 0,04 = 7,645%
Wartości rynkowe
E = 1 000 000·€48,50 = €48 500 000
V = €97 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·7,645% + 0,5·6%·(1 − 0,3) = 5,923%
Odpowiedź
WACC = 5,923%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 19,27
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (53,6 − 60)/8 = −0,8
Odpowiedź
z = −0,8
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,08333
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 3/9 · 2/8 = 6/72 = 0,08333
Odpowiedź
P = 0,08333
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: E(G) = 0,5 €
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Wyniki netto
G: 15 (p = 0,15), 45 (p = 0,05), −5 (p = 0,8)
Wartość oczekiwana
E(G) = 15·0,15 + 45·0,05 − 5·0,8 = 0,5 €
Odpowiedź
E(G) = 0,5 €
Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = 1,47
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = (1 + 0,8584)/2 = 0,9292
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,9292 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 1,47
Odpowiedź
z = 1,47
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 75,4 pkt
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,85
z z tablicy
z ≈ 1,04
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 65 + 1,04·10 = 75,4 pkt
Odpowiedź
x = 75,4 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 17,84
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 5, t = 2,571
Margines błędu
E = 2,571·17/√6 = 17,84
Odpowiedź
E = 17,84
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 3908
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·38/1)² = 3908
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 3908
Odpowiedź
n = 3908
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −2,25
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8
Statystyka testowa
t = (198,2 − 200)/0,8 = −2,25
Odpowiedź
t = −2,25
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 427
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = ((2,326 + 1,645)·26/5)² = 426,4
Zaokrąglij w górę
n = 427
Odpowiedź
n = 427
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9957
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 278/5 = 55,6
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188
Syy = Σ(y − ȳ)² = 891,2
Współczynnik korelacji
r = 188/√(40·891,2) = 0,9957
Odpowiedź
r = 0,9957
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = 1,8
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 95/5 = 19
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36
Prosta regresji
b = −36/10 = −3,6
a = 19 − (−3,6)·3 = 29,8
ŷ = 29,8 − 3,6·x
Wartość przewidywana
ŷ = 29,8 + (−3,6)·3,5 = 17,2
Reszta
e = 19 − 17,2 = 1,8
Odpowiedź
e = 1,8
Punkt leży nad prostą.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.