Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 15 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.
r = 15%m = 12
EAR = %
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €15 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 4 lat. Oprocentowanie wynosi 7,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €15 0007,2% / 12N = 48
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €30 000, działa przez 4 lat, a jej eksploatacja kosztuje €1 500 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.
C0 = €30 000M = €1 500n = 4r = 8%
EAC = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt A kosztuje €10 000 i przynosi €5 500, €3 500, €2 500 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €12 000 i przynosi €3 000, €5 000, €6 000. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 9 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 6%YTM = 3,5%n = 9
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 4% zostanie wykupiona po 10 latach, a jej cena wynosi €885. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 4%n = 10P = €885
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,6. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stawka podatku 28%. Wyznacz WACC.
D/E = 0,6re = 13%rd = 5%T = 28%
WACC = %
8.CAPM i WACCTrudny
Spółka ma 4 000 000 akcji po €10,00 za sztukę i 40 000 obligacji notowanych po €980 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4%, a stopa podatkowa 21%. Współczynnik beta akcji to 0,9, stopa wolna od ryzyka 3%, a stopa zwrotu z rynku 7%. Wyznacz WACC.
β = 0,9rf = 3%rm = 7%rd = 4%T = 21%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 29, 15, 45, 25, 20.
n = 5
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 100. Jaka część P wartości leży powyżej 350?
μ = 500σ = 100x = 350
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 5 osób z grupy 13 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 13k = 5
N =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 10 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,3. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 10p = 0,3
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Jaka część wartości leży między 95,5 a 118,75 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 100σ = 15x1 = 95,5x2 = 118,75
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Wzrost X mężczyzn i wzrost Y kobiet w grupie są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 180 cm i odchylenie standardowe 10 cm, Y ma średnią 170 cm i odchylenie standardowe 12 cm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 40 telefonów, średnia 75,5 h, znane odchylenie standardowe 19 h. Model 2: 60 telefonów, średnia 68,5 h, znane odchylenie standardowe 10 h. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
Odchylenie standardowe populacji wynosi 40. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3?
σ = 40E = 390%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 250; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 5. Losowa próba 25 obserwacji ma średnią 248,04. Przetestuj H₀: μ = 250 przeciw H₁: μ < 250. Wyznacz wartość p p.
μ₀ = 250σ = 5n = 25x̄ = 248,04H₁: μ < μ₀
p =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1? Odchylenie standardowe wynosi 10. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 10E = 199%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 5
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (1,5, 21). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 5(1,5, 21)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: EAR = 16,08 %
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa na okres
r/m = 0,15/12 = 0,0125
Kapitalizacja w ciągu roku
EAR = (1 + 0,0125)12 − 1 = 1,161 − 1 = 16,08%
Odpowiedź
EAR = 16,08%
Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 360,6 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·4 = 48
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,7504
A = 15 000·0,006/(1 − 0,7504) = €360,59
Odpowiedź
A = €360,59
3.NPV i IRR
Odpowiedź: EAC = 10558 €
Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − 1,08−4)/0,08 = 3,312
Zannualizowana cena zakupu
30 000/3,312 = 9 057,62
EAC
EAC = 9 057,62 + 1 500 = €10 557,62
Odpowiedź
EAC = €10 557,62
4.NPV i IRR
Odpowiedź: r* = 5,034 %
Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.
Różnica przepływów
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 000 − 5 500 = −2 500
ΔCF2 = 5 000 − 3 500 = 1 500
ΔCF3 = 6 000 − 2 500 = 3 500
IRR różnicy
NPVΔ(5%) = 3,02
NPVΔ(6%) = −84,83
r* = 5,034%
Odpowiedź
r* = 5,034%
Sprawdzenie: przy 5,034% oba NPV wynoszą €566,49.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 1192 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €30,00, i = 0,0175, N = 18
Wartość bieżąca kuponów
€30,00·(1 − 0,7318)/0,0175 = €459,81
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,7318 = €731,78
Cena
P = €1 191,59
Odpowiedź
P = €1 191,59
Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 5,528 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€885 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Rozwiąż numerycznie
P(5%) = €922,78, P(6%) = €852,80
YTM = 5,528%
Odpowiedź
YTM = 5,528%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 9,475 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi z D/E
E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625
D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375
WACC
WACC = 0,625·13% + 0,375·5%·(1 − 0,28) = 9,475%
Odpowiedź
WACC = 9,475%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 4,897 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1,5
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Odpowiedź
P = 0,9332
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 1287
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287
Odpowiedź
N = 1287
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,1493
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,710 = 0,02825
P(X = 1) = 10·0,3·0,79 = 0,1211
Dodaj
P = 0,02825 + 0,1211 = 0,1493
Odpowiedź
P = 0,1493
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,5123
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (95,5 − 100)/15 = −0,3
z₂ = (118,75 − 100)/15 = 1,25
Pole pomiędzy
P = Φ(1,25) − Φ(−0,3) = 0,8944 − 0,3821 = 0,5123
Odpowiedź
P = 0,5123
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,7389
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standaryzuj
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Odpowiedź
P = 0,7389
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −1,423 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 75,5 − 68,5 = 7
Błąd standardowy
SE = √(19²/40 + 10²/60) = 3,27
Margines błędu
E = 2,576·3,27 = 8,423
Przedział
7 ± 8,423 → [−1,423, 15,42]
Odpowiedź
dolna granica = −1,423 h
Przedział zawiera 0, więc dane nie wykazują istotnej różnicy.
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 482
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·40/3)² = 481,1
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 482
Odpowiedź
n = 482
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: p = 0,025
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statystyka testowa
SE = σ/√n = 5/√25 = 1
z = (248,04 − 250)/1 = −1,96
Pole ogona
Φ(1,96) = 0,9750
1 − Φ(1,96) = 0,0250
Wartość p
p = 0,025
Odpowiedź
p = 0,025
p ≤ 0,05, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 %.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 664
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (2,576·10/1)² = 663,6
Zaokrąglij w górę
n = 664
Odpowiedź
n = 664
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,8516
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 328/5 = 65,6
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110
Syy = Σ(y − ȳ)² = 355,2
Współczynnik determinacji
r² = 110²/(40·355,2) = 0,8516
Odpowiedź
r² = 0,8516
Około 85,16% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = −3,75
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 111/5 = 22,2
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17
Prosta regresji
b = −17/10 = −1,7
a = 22,2 − (−1,7)·3 = 27,3
ŷ = 27,3 − 1,7·x
Wartość przewidywana
ŷ = 27,3 + (−1,7)·1,5 = 24,75
Reszta
e = 21 − 24,75 = −3,75
Odpowiedź
e = −3,75
Punkt leży pod prostą.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.