Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €5 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 2,5 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 5,5 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.

C₁ = €5 000g = 2,5%r = 5,5%

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €150 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 20 lat. Oprocentowanie wynosi 4,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €150 0004,2% / 12N = 240

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €30 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €8 000, €8 000, €9 000. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 000CF₂ = 8 000CF₃ = 9 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €36 000, €27 000, €31 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −50 000CF₁ = 36 000CF₂ = 27 000CF₃ = 31 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 4 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 6%YTM = 3,5%n = 4

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 3 latach, a jej cena wynosi €950. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 8%n = 3P = €950

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €10 000 000 i dług o wartości €4 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 9%, koszt długu przed opodatkowaniem 4,5%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.

E = €10 000 000D = €4 000 000r_e = 9%r_d = 4,5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Akcje firmy mają betę 1,1 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,2. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 1. Stawka podatku wynosi 21%, stopa wolna od ryzyka 3%, a rynkowa premia za ryzyko 4,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e po zmianie.

β_L = 1,1D/E₁ = 0,2D/E₂ = 1T = 21%r_f = 3%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 37, 16, 49, 23, 43, 37.

n = 6

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży poniżej 110?

μ = 100σ = 8x = 110

P =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,25, 0,1, 0,35

σ =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 0,5X + 20. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 0,5X + 20

σ_Y =

13.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 120 mm i odchyleniem standardowym 0,3 mm; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 80 mm i odchyleniem standardowym 0,4 mm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 199,8 mm. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,8 mm

P =

14.Rozkład normalnyTrudny

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,03 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

15.Przedziały ufnościŚredni

Przedział ufności 99 % dla średniej, oparty na 50 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 2,3. Jaki będzie margines błędu E₂, jeśli to samo badanie obejmie 200 obserwacji?

99%n₁ = 50E₁ = 2,3n₂ = 200

E₂ =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 35. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?

σ = 35E = 299%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

6 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 9,81, a odchylenie standardowe różnic 8,9. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μ_d = 0.

n = 6d̄ = 9,81s_d = 8,9

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5? Odchylenie standardowe wynosi 20. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 20E = 1,590%

n =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (11, 21). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(11, 21)

e =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 166667 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Rosnąca renta wieczysta

PV = C₁/(r − g) = 5 000/(0,055 − 0,025) = 5 000/0,03 = €166 666,67

Odpowiedź

PV = €166 666,67

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 924,9 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·20 = 240

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,4323

A = 150 000·0,0035/(1 − 0,4323) = €924,86

Odpowiedź

A = €924,86

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −9354 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 8 000/1,1 = 7 272,73

CF₂/(1 + 0,1)² = 8 000/1,21 = 6 611,57

CF₃/(1 + 0,1)³ = 9 000/1,331 = 6 761,83

Zsumuj

NPV = €−9 353,87

Odpowiedź

NPV = €−9 353,87

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 41,28 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(40%) = 787,17

NPV(45%) = −2 162,04

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 40 + 5·787,17/(787,17 − (−2 162,04)) = 41,33%

dokładnie: NPV(41,28%) = 0 → IRR = 41,28%

Odpowiedź

IRR = 41,28%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1093 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €30,00, i = 0,0175, N = 8

Wartość bieżąca kuponów

€30,00·(1 − 0,8704)/0,0175 = €222,15

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,8704 = €870,41

Cena

P = €1 092,56

Odpowiedź

P = €1 092,56

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 10,01 %

Równanie dla rentowności

€950 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Rozwiąż numerycznie

P(10%) = €950,26, P(11%) = €926,69

YTM = 10,01%

Odpowiedź

YTM = 10,01%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,393 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·9% + 0,2857·4,5%·(1 − 0,25) = 7,393%

Odpowiedź

WACC = 7,393%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 10,65 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Usuń dźwignię z bety

β_U = 1,1/(1 + 0,79·0,2) = 0,9499

Zlewaruj ponownie przy nowym D/E

β_L = 0,9499·(1 + 0,79·1) = 1,7

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3% + 1,7·4,5% = 10,65%

Odpowiedź

r_e = 10,65%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 12,4

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 205/6 = 34,17

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 2,833² + (−18,17)² + 14,83² + (−11,17)² + 8,833² + 2,833² = 768,8

Odchylenie standardowe

s = √(768,8/5) = 12,4

Odpowiedź

s = 12,4

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,8944

Standaryzuj

z = 1,25

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Odpowiedź

P = 0,8944

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 2,49

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,3 + 2·0,25 + 4·0,1 + 6·0,35 = 3

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,25 + 16·0,1 + 36·0,35 = 15,2

Wariancja

Var(X) = 15,2 − 3² = 6,2

σ = √6,2 = 2,49

Odpowiedź

σ = 2,49

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 0,4023

Rozrzut X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Zmiana liniowa

σ_Y = |0,5|·0,8047 = 0,4023

Odpowiedź

σ_Y = 0,4023

Średnia się przesuwa: E(Y) = 0,5·1,05 + 20 = 20,52.

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6554

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standaryzuj

z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4

Górny ogon

P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554

Odpowiedź

P = 0,6554

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9207

Rozkład różnicy

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02121 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,03)/0,02121 = −1,41

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Odpowiedź

P = 0,9207

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: E₂ = 1,15

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Stosunek marginesów

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(50/200) = 0,5

Nowy margines

E₂ = 2,3·0,5 = 1,15

Odpowiedź

E₂ = 1,15

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 2033

Wyznacz n

n = (2,576·35/2)² = 2032

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 2033

Odpowiedź

n = 2033

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,7

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy średniej różnicy

SE = 8,9/√6 = 3,633

Statystyka testowa

t = 9,81/3,633 = 2,7

Odpowiedź

t = 2,7

Przy df = 5 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,571; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 482

Wyznacz n

n = (1,645·20/1,5)² = 481,1

Zaokrąglij w górę

n = 482

Odpowiedź

n = 482

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,989

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 544/6 = 90,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 372

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2021

Współczynnik korelacji

r = 372/√(70·2021) = 0,989

Odpowiedź

r = 0,989

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 3,038

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 68/6 = 11,33

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

Prosta regresji

b = 116/70 = 1,657

a = 11,33 − 1,657·7 = −0,2667

ŷ = −0,2667 + 1,657·x

Wartość przewidywana

ŷ = −0,2667 + 1,657·11 = 17,96

Reszta

e = 21 − 17,96 = 3,038

Odpowiedź

e = 3,038

Punkt leży nad prostą.

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income