Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €8 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 1 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 6 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €8 000g = 1%r = 6%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Pożyczasz €25 000 przy 2,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €325 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.
P = €25 000A = €3252,4% / 12
N = raty
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €7 000, €7 000, €8 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €9 000, €13 000, €8 000 na koniec lat od 1 do 3. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 6 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.
Kupujesz obligację z 3 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 5%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 4%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 3%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 5%n = 3y0 = 4%y1 = 3%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 6% zostanie wykupiona po 8 latach, a jej cena wynosi €1 135. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 6%n = 8P = €1 135
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,6. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stawka podatku 21%. Wyznacz WACC.
D/E = 0,6re = 10%rd = 5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM i WACCTrudny
Spółka ma 1 000 000 akcji po €41,00 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4,5%, a stopa podatkowa 20%. Współczynnik beta akcji to 0,6, stopa wolna od ryzyka 1%, a stopa zwrotu z rynku 7,5%. Wyznacz WACC.
β = 0,6rf = 1%rm = 7,5%rd = 4,5%T = 20%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 49, 41, 11, 30, 22.
n = 5
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży powyżej 55?
μ = 70σ = 15x = 55
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 6 kul czerwonych i 7 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
6 / 7
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 8 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,3, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 5 poprawnych odpowiedzi?
n = 8p = 0,3k = 5
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,2148. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,2148
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 70% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 65 pktσ = 10 pkt70%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 11 elementów ma średnią 112,5 i odchylenie standardowe s = 18,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 11x̄ = 112,5s = 18,595%t(10) = 2,228
dolna granica =
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 6. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?
σ = 6E = 1,599%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
15 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 4,72, a odchylenie standardowe różnic 8,7. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 15d̄ = 4,72sd = 8,7
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 36 pomiarów ma średnią 74. Odchylenie standardowe populacji wynosi 5. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 74σ = 5n = 3690%
U =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (2,5, 48). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(2,5, 48)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 160000 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Przekształć wzór na rentę
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,002/325 = 0,8462
Rozwiąż za pomocą logarytmów
N = −ln(0,8462)/ln(1,002) = 83,61
Zaokrąglij w górę do pełnych rat
83 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.
N = 84
Odpowiedź
N = 84 raty
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −1166 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 7 000/1,08 = 6 481,48
CF2/(1 + 0,08)2 = 7 000/1,166 = 6 001,37
CF3/(1 + 0,08)3 = 8 000/1,26 = 6 350,66
Zsumuj
NPV = €−1 166,49
Odpowiedź
NPV = €−1 166,49
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: MIRR = 8,455 %
Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Wartość końcowa wpływów
9 000·1,062 = 10 112,40
13 000·1,061 = 13 780,00
8 000·1,060 = 8 000,00
TV = 31 892,40
MIRR
MIRR = (31 892,40/25 000)1/3 − 1 = 8,455%
Odpowiedź
MIRR = 8,455%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: HPR = 5,888 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 135 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Rozwiąż numerycznie
P(3%) = €1 210,59, P(4%) = €1 134,65
YTM = 3,995%
Odpowiedź
YTM = 3,995%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,731 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi z D/E
E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625
D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375
WACC
WACC = 0,625·10% + 0,375·5%·(1 − 0,21) = 7,731%
Odpowiedź
WACC = 7,731%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 4,759 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Odpowiedź
P = 0,8413
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,1923
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0,1923
Odpowiedź
P = 0,1923
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,04668
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = 1 − 0,2148 = 0,7852
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,7852 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 0,79
Odpowiedź
z = 0,79
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 59,8 pkt
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,3
z z tablicy
z ≈ −0,52
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 65 − 0,52·10 = 59,8 pkt
Odpowiedź
x = 59,8 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 100,1
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 10, t = 2,228
Margines błędu
E = 2,228·18,5/√11 = 12,43
Przedział
112,5 ± 12,43 → [100,1, 124,9]
Odpowiedź
dolna granica = 100,1
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 107
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (2,576·6/1,5)² = 106,2
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 107
Odpowiedź
n = 107
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,101
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 8,7/√15 = 2,246
Statystyka testowa
t = 4,72/2,246 = 2,101
Odpowiedź
t = 2,101
Przy df = 14 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,145; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 75,37
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,645·5/√36 = 1,371
Granica przedziału
U = 74 + 1,371 = 75,37
Odpowiedź
U = 75,37
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,7398
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 99/5 = 19,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −9
Syy = Σ(y − ȳ)² = 14,8
Współczynnik korelacji
r = −9/√(10·14,8) = −0,7398
Odpowiedź
r = −0,7398
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = 3,343
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 282/6 = 47
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41
Prosta regresji
b = 41/17,5 = 2,343
a = 47 − 2,343·3,5 = 38,8
ŷ = 38,8 + 2,343·x
Wartość przewidywana
ŷ = 38,8 + 2,343·2,5 = 44,66
Reszta
e = 48 − 44,66 = 3,343
Odpowiedź
e = 3,343
Punkt leży nad prostą.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.