Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €8 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 1 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 4 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €8 000g = 1%r = 4%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Na początku każdego roku przez 26 lat wpłacasz €2 500, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 4 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 26? Wyznacz FV.
A = €2 500i = 4%n = 26
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €30 000, działa przez 9 lat, a jej eksploatacja kosztuje €4 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.
C0 = €30 000M = €4 000n = 9r = 6%
EAC = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €25 000, €25 000, €29 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −40 000CF1 = 25 000CF2 = 25 000CF3 = 29 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 8 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 2%YTM = 3%n = 8
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% i zapada za 4 lat. Rentowność do wykupu wynosi 8%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.
F = €1 000kupon = 5%n = 4YTM = 8%
D = lata
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stopa podatkowa 30%. Wyznacz WACC.
Akcje firmy mają betę 1,3 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,4. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 1. Stawka podatku wynosi 25,8%, stopa wolna od ryzyka 2%, a rynkowa premia za ryzyko 4,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego re po zmianie.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 60, 16, 35, 19, 34, 45, 53.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 10. Wyznacz wynik z z dla wyniku 74.
μ = 70σ = 10x = 74
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,1, 0,35, 0,2
σ =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 7 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,25. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 7p = 0,25
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 26,3 a 35,3 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 32σ = 6x1 = 26,3x2 = 35,3
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 5% wszystkich wartości (5. percentyl).
μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 30 elementów ma średnią 73 i odchylenie standardowe s = 17. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 30x̄ = 73s = 1790%t(29) = 1,699
dolna granica =
16.Przedziały ufnościTrudny
Z góry nic nie wiadomo o frakcji wadliwych produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 99 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,04?
p = 0,5E = 0,0499%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 100 części ma średnią długość 105 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 20 mm. Linia 2: próba 100 części ma średnią 113,3 mm, znane odchylenie standardowe 19 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
Jednostronny test z dla H₀: μ = 80 przeciw H₁: μ < 80 przeprowadza się na poziomie α = 0.10 na próbie o liczebności 36; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 12. W rzeczywistości średnia wynosi 78. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.
μ₀ = 80μ = 78σ = 12n = 36α = 0,10
1 − β = %
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 5
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (4,5, 49). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 5(4,5, 49)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 266667 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik renty zwykłej
((1 + 0,04)26 − 1)/0,04 = 44,31
Renta płatna z góry
Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.
FV = 2 500·44,31·1,04 = €115 210,54
Odpowiedź
FV = €115 210,54
3.NPV i IRR
Odpowiedź: EAC = 8411 €
Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − 1,06−9)/0,06 = 6,802
Zannualizowana cena zakupu
30 000/6,802 = 4 410,67
EAC
EAC = 4 410,67 + 4 000 = €8 410,67
Odpowiedź
EAC = €8 410,67
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 42,6 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(40%) = 1 362,97
NPV(45%) = −1 191,52
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €10,00, i = 0,015, N = 16
Wartość bieżąca kuponów
€10,00·(1 − 0,788)/0,015 = €141,31
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,788 = €788,03
Cena
P = €929,34
Odpowiedź
P = €929,34
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: D = 3,707 lata
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Wartość bieżąca każdego przepływu
t = 1: 50/1,08 = 46,30, t·PV = 46,30
t = 2: 50/1,166 = 42,87, t·PV = 85,73
t = 3: 50/1,26 = 39,69, t·PV = 119,07
t = 4: 1050/1,36 = 771,78, t·PV = 3 087,13
Duration
P = 900,64
D = 3 338,23/900,64 = 3,707
Odpowiedź
D = 3,707 lata
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,662 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·11% + 0,375·3%·(1 − 0,3) = 7,662%
Odpowiedź
WACC = 7,662%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 9,858 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Usuń dźwignię z bety
βU = 1,3/(1 + 0,742·0,4) = 1,002
Zlewaruj ponownie przy nowym D/E
βL = 1,002·(1 + 0,742·1) = 1,746
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 2% + 1,746·4,5% = 9,858%
Odpowiedź
re = 9,858%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 16,46
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (74 − 70)/10 = 0,4
Odpowiedź
z = 0,4
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σ = 1,158
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Średnia
μ = 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,35 + 4·0,2 = 2,4
Średnia kwadratów
E(X²) = 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,35 + 16·0,2 = 7,1
Wariancja
Var(X) = 7,1 − 2,4² = 1,34
σ = √1,34 = 1,158
Odpowiedź
σ = 1,158
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,4449
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,757 = 0,1335
P(X = 1) = 7·0,25·0,756 = 0,3115
Dodaj
P = 0,1335 + 0,3115 = 0,4449
Odpowiedź
P = 0,4449
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,5378
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (26,3 − 32)/6 = −0,95
z₂ = (35,3 − 32)/6 = 0,55
Pole pomiędzy
P = Φ(0,55) − Φ(−0,95) = 0,7088 − 0,1711 = 0,5378
Odpowiedź
P = 0,5378
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 22,13 min
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Powrót do x
x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min
Odpowiedź
x = 22,13 min
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 67,73
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 29, t = 1,699
Margines błędu
E = 1,699·17/√30 = 5,273
Przedział
73 ± 5,273 → [67,73, 78,27]
Odpowiedź
dolna granica = 67,73
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 1037
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Wyznacz n
n = 2,576²·0,5·0,5/0,04² = 1037
Zaokrąglij w górę
n = 1037
Odpowiedź
n = 1037
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −3,009
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Błąd standardowy różnicy
SE = √(20²/100 + 19²/100) = √7,61 = 2,759
Statystyka testowa
z = (105 − 113,3)/2,759 = −3,009
Odpowiedź
z = −3,009
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: 1 − β = 38,9 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Krytyczna średnia z próby
SE = 12/√36 = 2
x̄c = 80 − 1,282·2 = 77,44
z przy prawdziwej średniej
z = (77,44 − 78)/2 = −0,282
Moc
moc = P(Z < −0.282) = 38.9%
1 − β = 38,9%
Odpowiedź
1 − β = 38,9%
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9717
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 269/5 = 53,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142
Syy = Σ(y − ȳ)² = 518,8
Współczynnik determinacji
r² = 142²/(40·518,8) = 0,9717
Odpowiedź
r² = 0,9717
Około 97,17% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = −3,25
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 241/5 = 48,2
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 27
Prosta regresji
b = 27/10 = 2,7
a = 48,2 − 2,7·3 = 40,1
ŷ = 40,1 + 2,7·x
Wartość przewidywana
ŷ = 40,1 + 2,7·4,5 = 52,25
Reszta
e = 49 − 52,25 = −3,25
Odpowiedź
e = −3,25
Punkt leży pod prostą.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.