Renta wypłaca €8 000 na koniec każdego roku przez 12 lat. Stopa procentowa wynosi 7 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.
A = €8 000i = 7%n = 12
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €150 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 15 lat przy 4,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?
P = €150 0004,2% / 12N = 180
I = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €60 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €18 000, €13 000, €14 000. Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €6 500, €7 000, €7 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 7 000CF3 = 7 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 3 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 2%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 4%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 2%n = 3y0 = 4%y1 = 5%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja jest notowana po €930 przy rentowności do wykupu 6% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 11,6 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność wzrośnie o 75 punktów bazowych.
P0 = €930y = 6%D = 11,6Δy = +75 bp
P = €
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €2 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stopa podatkowa 28%. Wyznacz WACC.
Firma ma 1 000 000 akcji notowanych po €45,00; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €27 000 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €2,20 na akcję, a dywidendy rosną o 3% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €36 000 000 i koszt przed opodatkowaniem 3%. Stawka podatku wynosi 25,8%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,5763. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,5763
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 95% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 250 gσ = 5 g95%
x = g
15.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 30 telefonów, średnia 84,5 h, znane odchylenie standardowe 3 h. Model 2: 40 telefonów, średnia 97 h, znane odchylenie standardowe 4 h. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
Odchylenie standardowe populacji wynosi 31. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?
σ = 31E = 190%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 64 studentów ma średni wynik 503 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 503s = 10n = 64
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 80 przeciw H₁: μ > 80 przeprowadza się na poziomie α = 0,05 na próbie o liczebności 100; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 15. W rzeczywistości średnia wynosi 83,6. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.
μ₀ = 80μ = 83,6σ = 15n = 100α = 0,05
β = %
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 5
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 66?
n = 6ŷ = 66
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 63541 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,444)/0,07 = 7,943
Wartość bieżąca
PV = 8 000·7,943 = €63 541,49
Odpowiedź
PV = €63 541,49
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: I = 52433 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 18 000/1,05 = 17 142,86
CF2/(1 + 0,05)2 = 13 000/1,103 = 11 791,38
CF3/(1 + 0,05)3 = 14 000/1,158 = 12 093,73
Zsumuj
NPV = €−18 972,03
Odpowiedź
NPV = €−18 972,03
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 47,18 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(45%) = 272,25
NPV(50%) = −333,33
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
IRR ≈ 45 + 5·272,25/(272,25 − (−333,33)) = 47,25%
dokładnie: NPV(47,18%) = 0 → IRR = 47,18%
Odpowiedź
IRR = 47,18%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: HPR = 2,088 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Zmodyfikowana duration
Dmod = 11,6/1,06 = 10,94
Szacowana zmiana ceny
%ΔP ≈ −10,94·(0,0075) = −8,208%
P ≈ 930·(1 − 0,08208) = €853,67
Odpowiedź
P = €853,67
Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 9,16 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·14% + 0,5·6%·(1 − 0,28) = 9,16%
Odpowiedź
WACC = 9,16%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 5,454 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (42 − 60)/15 = −1,2
Odpowiedź
z = −1,2
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,2143
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0,2143
Odpowiedź
P = 0,2143
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σY = 5,585
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Rozrzut X
μ = 24,5, Var(X) = 124,8, σX = 11,17
Zmiana liniowa
σY = |0,5|·11,17 = 5,585
Odpowiedź
σY = 5,585
Średnia się przesuwa: E(Y) = 0,5·24,5 + 5 = 17,25.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = 0,8
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = (1 + 0,5763)/2 = 0,7881
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,7881 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 0,80
Odpowiedź
z = 0,80
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 241,8 g
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,05
z z tablicy
z ≈ −1,64
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 250 − 1,64·5 = 241,8 g
Odpowiedź
x = 241,8 g
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 2,155 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 84,5 − 97 = −12,5
Błąd standardowy
SE = √(3²/30 + 4²/40) = 0,8367
Margines błędu
E = 2,576·0,8367 = 2,155
Odpowiedź
E = 2,155 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 2601
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·31/1)² = 2600
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 2601
Odpowiedź
n = 2601
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,4
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25
Statystyka testowa
t = (503 − 500)/1,25 = 2,4
Odpowiedź
t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: β = 22,51 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Krytyczna średnia z próby
SE = 15/√100 = 1,5
x̄c = 80 + 1,645·1,5 = 82,47
z przy prawdziwej średniej
z = (82,47 − 83,6)/1,5 = −0,755
Błąd II rodzaju
moc = P(Z > −0,755) = 77,49%
β = 100% − 77,49% = 22,51%
Odpowiedź
β = 22,51%
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9959
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 71/5 = 14,2
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108
Syy = Σ(y − ȳ)² = 292,8
Współczynnik determinacji
r² = 108²/(40·292,8) = 0,9959
Odpowiedź
r² = 0,9959
Około 99,59% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 7,464
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 328/6 = 54,67
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 101
Prosta regresji
b = 101/17,5 = 5,771
a = 54,67 − 5,771·5,5 = 22,92
ŷ = 22,92 + 5,771·x
Wyznacz x
x = (66 − 22,92)/5,771 = 7,464
Odpowiedź
x = 7,464
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.