Inwestujesz €3 000 przy nominalnej stopie 4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 6 latach.
PV = €3 0004% / 12n = 6
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €10 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 4 lat przy 5,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?
P = €10 0005,4% / 12N = 48
I = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €17 000, €35 000, €32 000. Koszt kapitału wynosi 7,000000000000001 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €22 500, €16 000, €24 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −40 000CF1 = 22 500CF2 = 16 000CF3 = 24 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 8 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 6%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 7%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 6,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 6%n = 8y0 = 7%y1 = 6,5%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% i zapada za 3 lat. Rentowność do wykupu wynosi 5%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.
F = €1 000kupon = 3%n = 3YTM = 5%
D = lata
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma kapitał własny o wartości €3 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej WACC wynosi 5,44%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stawka podatku 28%. Wyznacz koszt kapitału własnego re.
Spółka ma 4 000 000 akcji po €22,50 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4,5%, a stopa podatkowa 25,8%. Współczynnik beta akcji to 0,9, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a stopa zwrotu z rynku 7,5%. Wyznacz WACC.
β = 0,9rf = 3,5%rm = 7,5%rd = 4,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 52, 39, 11, 31, 16, 10, 30.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży poniżej 60,4?
μ = 70σ = 8x = 60,4
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 8 kul czerwonych i 3 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
8 / 3
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
X ma pokazany rozkład, a Y = 0,5X + 5. Wyznacz odchylenie standardowe σY zmiennej Y.
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,9328. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,9328
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 5% wszystkich wartości (5. percentyl).
μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
15.Przedziały ufnościŚredni
U 10 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 7,6 i odchylenie standardowe 2,2. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90 % dla średniej różnicy.
n = 10d̄ = 7,6sd = 2,290%t(9) = 1,833
E = mmHg
16.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 9 poletek, średni plon 90,5 kg, odchylenie standardowe 2,5 kg. Grupa poletek 2: 8 poletek, średnia 101 kg, odchylenie standardowe 8,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
Próba 64 studentów ma średni wynik 498,4 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 498,4s = 4n = 64
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 95 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5? Odchylenie standardowe wynosi 5. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 5E = 1,595%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 6
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 3.
n = 6x = 3
ŷ =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 3812 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Rata miesięczna
i = 0,0045, N = 48
A = 10 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)−48) = €232,11
Łączne odsetki
I = N·A − P = 48·232,1 − 10 000 = €1 141,25
Odpowiedź
I = €1 141,25
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −2420 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 17 000/1,07 = 15 887,85
CF2/(1 + 0,07)2 = 35 000/1,145 = 30 570,36
CF3/(1 + 0,07)3 = 32 000/1,225 = 26 121,53
Zsumuj
NPV = €−2 420,26
Odpowiedź
NPV = €−2 420,26
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 25,89 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(25%) = 528,00
NPV(30%) = −2 300,86
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Wartość bieżąca każdego przepływu
t = 1: 30/1,05 = 28,57, t·PV = 28,57
t = 2: 30/1,103 = 27,21, t·PV = 54,42
t = 3: 1030/1,158 = 889,75, t·PV = 2 669,26
Duration
P = 945,54
D = 2 752,25/945,54 = 2,911
Odpowiedź
D = 2,911 lata
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 8 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
Część dłużna WACC
0,5·4%·(1 − 0,28) = 1,44%
Koszt kapitału własnego
re = (5,44% − 1,44%)/0,5 = 8%
Odpowiedź
re = 8%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 6,737 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1,2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Odpowiedź
P = 0,1151
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,5091
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 8/11 · 7/10 = 56/110 = 0,5091
Odpowiedź
P = 0,5091
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σY = 0,5831
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Rozrzut X
μ = 1,8, Var(X) = 1,36, σX = 1,166
Zmiana liniowa
σY = |0,5|·1,166 = 0,5831
Odpowiedź
σY = 0,5831
Średnia się przesuwa: E(Y) = 0,5·1,8 + 5 = 5,9.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = 1,83
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = (1 + 0,9328)/2 = 0,9664
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,9664 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 1,83
Odpowiedź
z = 1,83
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 22,13 min
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Powrót do x
x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min
Odpowiedź
x = 22,13 min
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 1,275 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 9, t = 1,833
Margines błędu
E = 1,833·2,2/√10 = 1,275
Odpowiedź
E = 1,275 mmHg
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −15,68 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (8·2,5² + 7·8,5²)/15 = 37,05
sp = 6,087
Margines błędu
E = 1,753·6,087·√(1/9 + 1/8) = 5,185
Przedział
−10,5 ± 5,185 → [−15,68, −5,315]
Odpowiedź
dolna granica = −15,68 kg
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −3,2
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5
Statystyka testowa
t = (498,4 − 500)/0,5 = −3,2
Odpowiedź
t = −3,2
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 43
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (1,96·5/1,5)² = 42,68
Zaokrąglij w górę
n = 43
Odpowiedź
n = 43
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9307
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 294/6 = 49
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100
Syy = Σ(y − ȳ)² = 614
Współczynnik determinacji
r² = 100²/(17,5·614) = 0,9307
Odpowiedź
r² = 0,9307
Około 93,07% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 64,26
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 522/6 = 87
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 398
Prosta regresji
b = 398/70 = 5,686
a = 87 − 5,686·7 = 47,2
ŷ = 47,2 + 5,686·x
Prognoza
ŷ = 47,2 + 5,686·3 = 64,26
Odpowiedź
ŷ = 64,26
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.