Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €2 000 przy nominalnej stopie 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 3 latach.

PV = €2 0006% / 12n = 3

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €250 na koniec każdego miesiąca przez 6 lat. Konto daje 5,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €2505,4% / 12N = 72

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €60 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €14 000, €15 000, €29 000, €16 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 14 000CF₂ = 15 000CF₃ = 29 000CF₄ = 16 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €10 000, €14 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 14 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 7 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 7%YTM = 5,5%n = 7

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 5% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €1 115. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 5%n = 9P = €1 115

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €6 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stopa podatkowa 30%. Wyznacz WACC.

E = €6 000 000D = €3 000 000r_e = 10%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,9. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,6. Stawka podatku wynosi 30%, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a rynkowa premia za ryzyko 4%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 0,9D/E = 0,6T = 30%r_f = 1,5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 57, 10, 13, 19, 41, 48, 18.

n = 7

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 12. Jaka część P wartości leży powyżej 75?

μ = 60σ = 12x = 75

P =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 9 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 9k = 2

N =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €1. Wygrywasz €2 z prawdopodobieństwem 0,3 i €50 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €1€2: p = 0,3€50: p = 0,01

E(G) = €

13.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,9523. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,9523

z =

14.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 95% wszystkich wartości (95. percentyl).

μ = 100σ = 15P = 95%

x = pkt

15.Przedziały ufnościŚredni

Próba 6 elementów ma średnią 60,5 i odchylenie standardowe s = 4,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 6x̄ = 60,5s = 4,595%t(5) = 2,571

górna granica =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 32. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?

σ = 32E = 190%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 100,5 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 100,5s = 4n = 36

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3? Odchylenie standardowe wynosi 10. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 10E = 399%

n =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 26?

n = 5ŷ = 26

x =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 2393 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,06/12 = 0,005

N = m·n = 12·3 = 36

Wartość przyszła

FV = 2 000·(1 + 0,005)³⁶ = 2 000·1,197 = €2 393,36

Odpowiedź

FV = €2 393,36

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 21202 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·6 = 72

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,382 − 1)/0,0045 = €21 202,37

Odpowiedź

FV = €21 202,37

Sam wpłaciłeś €18 000; reszta to odsetki.

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −4732 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 14 000/1,12 = 12 500,00

CF₂/(1 + 0,12)² = 15 000/1,254 = 11 957,91

CF₃/(1 + 0,12)³ = 29 000/1,405 = 20 641,63

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 16 000/1,574 = 10 168,29

Zsumuj

NPV = €−4 732,18

Odpowiedź

NPV = €−4 732,18

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 12,32 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(10%) = 661,16

NPV(15%) = −718,34

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 10 + 5·661,16/(661,16 − (−718,34)) = 12,4%

dokładnie: NPV(12,32%) = 0 → IRR = 12,32%

Odpowiedź

IRR = 12,32%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1086 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €35,00, i = 0,0275, N = 14

Wartość bieżąca kuponów

€35,00·(1 − 0,684)/0,0275 = €402,19

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,684 = €684,00

Cena

P = €1 086,18

Odpowiedź

P = €1 086,18

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 3,489 %

Równanie dla rentowności

€1 115 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Rozwiąż numerycznie

P(3%) = €1 155,72, P(4%) = €1 074,35

YTM = 3,489%

Odpowiedź

YTM = 3,489%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,067 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €9 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·10% + 0,3333·6%·(1 − 0,3) = 8,067%

Odpowiedź

WACC = 8,067%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 6,612 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 0,9·(1 + 0,7·0,6) = 1,278

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,278·4% = 6,612%

Odpowiedź

r_e = 6,612%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 18,82

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 206/7 = 29,43

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 27,57² + (−19,43)² + (−16,43)² + (−10,43)² + 11,57² + 18,57² + (−11,43)² = 2126

Odchylenie standardowe

s = √(2126/6) = 18,82

Odpowiedź

s = 18,82

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,1056

Standaryzuj

z = 1,25

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Odpowiedź

P = 0,1056

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 36

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(9, 2) = (9·8)/(2·1) = 36

Odpowiedź

N = 36

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 0,1 €

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Wyniki netto

G: 1 (p = 0,3), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,69)

Wartość oczekiwana

E(G) = 1·0,3 + 49·0,01 − 1·0,69 = 0,1 €

Odpowiedź

E(G) = 0,1 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,98

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,9523)/2 = 0,9761

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9761 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,98

Odpowiedź

z = 1,98

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 124,7 pkt

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Powrót do x

x = 100 + 1,645·15 = 124,67 pkt

Odpowiedź

x = 124,67 pkt

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 65,22

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 5, t = 2,571

Margines błędu

E = 2,571·4,5/√6 = 4,723

Przedział

60,5 ± 4,723 → [55,78, 65,22]

Odpowiedź

górna granica = 65,22

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 2771

Wyznacz n

n = (1,645·32/1)² = 2771

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 2771

Odpowiedź

n = 2771

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 0,75

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Statystyka testowa

t = (100,5 − 100)/0,6667 = 0,75

Odpowiedź

t = 0,75

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 74

Wyznacz n

n = (2,576·10/3)² = 73,73

Zaokrąglij w górę

n = 74

Odpowiedź

n = 74

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,9149

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 123/6 = 20,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 63,5

Współczynnik korelacji

r = −30,5/√(17,5·63,5) = −0,9149

Odpowiedź

r = −0,9149

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 1,424

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 104/5 = 20,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

Prosta regresji

b = −33/10 = −3,3

a = 20,8 − (−3,3)·3 = 30,7

ŷ = 30,7 − 3,3·x

Wyznacz x

x = (26 − 30,7)/(−3,3) = 1,424

Odpowiedź

x = 1,424

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income