Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 17,5 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 17,5%m = 4

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Na początku każdego roku przez 13 lat wpłacasz €2 000, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 3 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 13? Wyznacz FV.

A = €2 000i = 3%n = 13

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €17 000, €11 000, €16 000, €11 000. Koszt kapitału wynosi 7,000000000000001 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 17 000CF₂ = 11 000CF₃ = 16 000CF₄ = 11 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Inwestycja €20 000 przynosi €5 500 na koniec każdego roku przez 5 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

C₀ = €20 000CF = €5 500n = 5

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 4 latach. Rentowność do wykupu wynosi 4% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 5%YTM = 4%n = 4

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 4% zostanie wykupiona po 10 latach, a jej cena wynosi €1 130. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 4%n = 10P = €1 130

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €2 000 000 i dług o wartości €6 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.

E = €2 000 000D = €6 000 000r_e = 12%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €15 000 000 i koszcie 9%. Jej dług stanowi 4 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 5%, 12 lat do wykupu), notowanych po €1 145 za sztukę. Stawka podatku wynosi 25,8%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €15 000 000r_e = 9%obligacje: 4 000 × €1 145kupon = 5%n = 12T = 25,8%

WACC = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 29, 55, 54, 41, 45, 36, 28.

n = 7

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 10. Wyznacz wynik z z dla wyniku 160.

μ = 170σ = 10x = 160

z =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 6 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 6

P =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 11 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,2, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 2 poprawnych odpowiedzi?

n = 11p = 0,2k = 2

P =

13.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,9109. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,9109

z =

14.Rozkład normalnyTrudny

Czas okrążenia X biegacza A i czas okrążenia Y biegacza B są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 52 s i odchylenie standardowe 4 s, Y ma średnią 48 s i odchylenie standardowe 3 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.Przedziały ufnościŚredni

U 6 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią −5,7 i odchylenie standardowe 3,6. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.

n = 6d̄ = −5,7s_d = 3,699%t(5) = 4,032

dolna granica = mmHg

16.Przedziały ufnościTrudny

Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 6 poletek, średni plon 52,5 kg, odchylenie standardowe 8 kg. Grupa poletek 2: 16 poletek, średnia 42,5 kg, odchylenie standardowe 2 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 52,5s₁ = 8n₂ = 16x̄₂ = 42,5s₂ = 290%t(20) = 1,725

dolna granica = kg

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 250; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 2,5. Losowa próba 25 obserwacji ma średnią 248,84. Przetestuj H₀: μ = 250 przeciw H₁: μ < 250. Wyznacz wartość p p.

μ₀ = 250σ = 2,5n = 25x̄ = 248,84H₁: μ < μ₀

p =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1? Odchylenie standardowe wynosi 15. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 15E = 199%

n =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 18,68 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,175/4 = 0,04375

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,04375)⁴ − 1 = 1,187 − 1 = 18,68%

Odpowiedź

EAR = 18,68%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 32173 €

Współczynnik renty zwykłej

((1 + 0,03)¹³ − 1)/0,03 = 15,62

Renta płatna z góry

Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.

FV = 2 000·15,62·1,03 = €32 172,65

Odpowiedź

FV = €32 172,65

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 1948 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 17 000/1,07 = 15 887,85

CF₂/(1 + 0,07)² = 11 000/1,145 = 9 607,83

CF₃/(1 + 0,07)³ = 16 000/1,225 = 13 060,77

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 11 000/1,311 = 8 391,85

Zsumuj

NPV = €1 948,29

Odpowiedź

NPV = €1 948,29

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 11,65 %

Wymagany współczynnik renty

(1 − (1 + i)⁻⁵)/i = 20 000/5 500 = 3,636

Wyznacz stopę

Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.

i = 11%: 3,696

i = 12%: 3,605

IRR = 11,65%

Odpowiedź

IRR = 11,65%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1037 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €25,00, i = 0,02, N = 8

Wartość bieżąca kuponów

€25,00·(1 − 0,8535)/0,02 = €183,14

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,8535 = €853,49

Cena

P = €1 036,63

Odpowiedź

P = €1 036,63

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 2,514 %

Równanie dla rentowności

€1 130 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Rozwiąż numerycznie

P(2%) = €1 179,65, P(3%) = €1 085,30

YTM = 2,514%

Odpowiedź

YTM = 2,514%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,963 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €8 000 000, E/V = 0,25, D/V = 0,75

WACC

WACC = 0,25·12% + 0,75·5%·(1 − 0,21) = 5,963%

Odpowiedź

WACC = 5,963%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,502 %

Koszt długu (YTM)

1145 = 50·(1 − (1 + y)⁻¹²)/y + 1000/(1 + y)¹²

y = 3,5%

Wartości rynkowe

D = 4 000·€1 145 = €4 580 000

V = €19 580 000, E/V = 0,7661, D/V = 0,2339

WACC

WACC = 0,7661·9% + 0,2339·3,5%·(1 − 0,258) = 7,502%

Odpowiedź

WACC = 7,502%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 10,95

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 288/7 = 41,14

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−12,14)² + 13,86² + 12,86² + (−0,1429)² + 3,857² + (−5,143)² + (−13,14)² = 718,9

Odchylenie standardowe

s = √(718,9/6) = 10,95

Odpowiedź

s = 10,95

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −1

Standaryzuj

z = (160 − 170)/10 = −1

Odpowiedź

z = −1

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,6651

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Odpowiedź

P = 0,6651

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2953

Wzór dwumianowy

P(X = 2) = 55·0,2²·0,8⁹ = 55·0,04·0,1342 = 0,2953

Odpowiedź

P = 0,2953

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,7

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,9109)/2 = 0,9554

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9554 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,70

Odpowiedź

z = 1,70

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7881

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standaryzuj

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Odpowiedź

P = 0,7881

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = −11,63 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 5, t = 4,032

Margines błędu

E = 4,032·3,6/√6 = 5,926

Przedział

−5,7 ± 5,926 → [−11,63, 0,2258]

Odpowiedź

dolna granica = −11,63 mmHg

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 6,401 kg

Łączne odchylenie standardowe

s_p² = (5·8² + 15·2²)/20 = 19

s_p = 4,359

Margines błędu

E = 1,725·4,359·√(1/6 + 1/16) = 3,599

Przedział

10 ± 3,599 → [6,401, 13,6]

Odpowiedź

dolna granica = 6,401 kg

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: p = 0,01017

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statystyka testowa

SE = σ/√n = 2,5/√25 = 0,5

z = (248,84 − 250)/0,5 = −2,32

Pole ogona

Φ(2,32) = 0,9898

1 − Φ(2,32) = 0,0102

Wartość p

p = 0,01017

Odpowiedź

p = 0,01017

p ≤ 0,05, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 %.

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1494

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Wyznacz n

n = (2,576·15/1)² = 1493

Zaokrąglij w górę

n = 1494

Odpowiedź

n = 1494

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,98

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 503/5 = 100,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 414

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1943

Współczynnik determinacji

r² = 414²/(90·1943) = 0,98

Odpowiedź

r² = 0,98

Około 98% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 103,1

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 424/5 = 84,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 244

Prosta regresji

b = 244/40 = 6,1

a = 84,8 − 6,1·6 = 48,2

ŷ = 48,2 + 6,1·x

Prognoza

ŷ = 48,2 + 6,1·9 = 103,1

Odpowiedź

ŷ = 103,1

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income