Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 4 lat potrzebujesz €15 000. Konto daje 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €15 0004,8% / 12n = 4

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €15 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 4 lat. Oprocentowanie wynosi 4,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €15 0004,2% / 12N = 48

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €40 000 i przynosi €17 500, €11 000, €18 000, €13 000, €11 000, €14 500 na koniec lat od 1 do 6. Koszt kapitału wynosi 6 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 17 500CF₂ = 11 000CF₃ = 18 000CF₄ = 13 000CF₅ = 11 000CF₆ = 14 500

DPB = lata

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje dziś €80 000. Jego przepływ wynosi €9 000 na koniec roku 1 i rośnie o 4 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 8. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €9 000g = 4%n = 8r = 12%

NPV = €

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 5 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €1 229, gdy rentowność do wykupu wynosi 3%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 5P = €1 229YTM = 3%

c = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 6% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €1 150. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 6%n = 9P = €1 150

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 12%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,6. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 1,5. Stawka podatku wynosi 20%, stopa wolna od ryzyka 2,5%, a rynkowa premia za ryzyko 5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 0,6D/E = 1,5T = 20%r_f = 2,5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 55, 59, 15, 48, 23.

n = 5

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 60.

μ = 70σ = 20x = 60

z =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,05, 0,35, 0,35, 0,25

Var(X) =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 11 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,3. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 11p = 0,3

P =

13.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 62 a 70 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 65σ = 10x₁ = 62x₂ = 70

P =

14.Rozkład normalnyTrudny

Wzrost X mężczyzn i wzrost Y kobiet w grupie są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 180 cm i odchylenie standardowe 10 cm, Y ma średnią 170 cm i odchylenie standardowe 12 cm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.Przedziały ufnościŚredni

Próba 11 elementów ma średnią 14 i odchylenie standardowe s = 1. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 11x̄ = 14s = 195%t(10) = 2,228

E =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 35. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 5?

σ = 35E = 590%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 6 uczniów, średni wynik 57, odchylenie standardowe 11. Grupa 2: 15 uczniów, średni wynik 53,5, odchylenie standardowe 4. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 6x̄₁ = 57s₁ = 11n₂ = 15x̄₂ = 53,5s₂ = 4

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 5 jednostek z mocą 95 %. Odchylenie standardowe wynosi 21. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,01moc = 95%δ = 5σ = 21z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (3, 11). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(3, 11)

e =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 12384 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·4 = 48

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,211 = €12 384,35

Odpowiedź

PV = €12 384,35

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 340 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·4 = 48

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,8456

A = 15 000·0,0035/(1 − 0,8456) = €340,03

Odpowiedź

A = €340,03

3.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 2,907 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 17 500/1,06 = 16 509,43 → Σ = 16 509,43

rok 2: 11 000/1,124 = 9 789,96 → Σ = 26 299,39

rok 3: 18 000/1,191 = 15 113,15 → Σ = 41 412,54

Ułamek ostatniego roku

DPB = 2 + 13 700,61/15 113,15 = 2,907

Odpowiedź

DPB = 2,907 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (2,639 lat).

4.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −29683 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca renty rosnącej

((1,04)/(1,12))⁸ = 0,5527

PV = 9 000/(0,12 − 0,04)·(1 − 0,5527) = 50 316,52

NPV

NPV = 50 316,52 − 80 000 = −€29 683,48

Odpowiedź

NPV = −€29 683,48

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 8 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,03)⁻⁵ = €862,61

Kupon

C = (1229 − 862,61)/4,58 = €80,00

Oprocentowanie kuponu

c = 80/1000 = 8%

Odpowiedź

c = 8%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 3,984 %

Równanie dla rentowności

€1 150 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Rozwiąż numerycznie

P(3%) = €1 233,58, P(4%) = €1 148,71

YTM = 3,984%

Odpowiedź

YTM = 3,984%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,981 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·12% + 0,375·5%·(1 − 0,21) = 8,981%

Odpowiedź

WACC = 8,981%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 9,1 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 0,6·(1 + 0,8·1,5) = 1,32

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,32·5% = 9,1%

Odpowiedź

r_e = 9,1%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 19,77

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 200/5 = 40

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 15² + 19² + (−25)² + 8² + (−17)² = 1564

Odchylenie standardowe

s = √(1564/4) = 19,77

Odpowiedź

s = 19,77

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −0,5

Standaryzuj

z = (60 − 70)/20 = −0,5

Odpowiedź

z = −0,5

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 76

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 10·0,05 + 20·0,35 + 30·0,35 + 40·0,25 = 28

Średnia kwadratów

E(X²) = 100·0,05 + 400·0,35 + 900·0,35 + 1600·0,25 = 860

Wariancja

Var(X) = 860 − 28² = 76

Odpowiedź

Var(X) = 76

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,113

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,7¹¹ = 0,01977

P(X = 1) = 11·0,3·0,7¹⁰ = 0,09322

Dodaj

P = 0,01977 + 0,09322 = 0,113

Odpowiedź

P = 0,113

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,3094

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (62 − 65)/10 = −0,3

z₂ = (70 − 65)/10 = 0,5

Pole pomiędzy

P = Φ(0,5) − Φ(−0,3) = 0,6915 − 0,3821 = 0,3094

Odpowiedź

P = 0,3094

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7389

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standaryzuj

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Odpowiedź

P = 0,7389

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 0,6718

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Margines błędu

E = 2,228·1/√11 = 0,6718

Odpowiedź

E = 0,6718

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 133

Wyznacz n

n = (1,645·35/5)² = 132,6

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 133

Odpowiedź

n = 133

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,097

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (5·11² + 14·4²)/19 = 43,63

s_p = 6,605

Błąd standardowy

SE = 6,605·√(1/6 + 1/15) = 3,191

Statystyka testowa

t = (57 − 53,5)/3,191 = 1,097

Odpowiedź

t = 1,097

Przy df = 19 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,093; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 279

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((2,326 + 1,645)·21/5)² = 278,2

Zaokrąglij w górę

n = 279

Odpowiedź

n = 279

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9794

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 339/5 = 67,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 286,8

Współczynnik determinacji

r² = 53²/(10·286,8) = 0,9794

Odpowiedź

r² = 0,9794

Około 97,94% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 4,9

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 74/5 = 14,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

Prosta regresji

b = 116/40 = 2,9

a = 14,8 − 2,9·6 = −2,6

ŷ = −2,6 + 2,9·x

Wartość przewidywana

ŷ = −2,6 + 2,9·3 = 6,1

Reszta

e = 11 − 6,1 = 4,9

Odpowiedź

e = 4,9

Punkt leży nad prostą.

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income