Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €20 000 przy nominalnej stopie 3 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 8 latach.

PV = €20 0003% / 4n = 8

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Na początku każdego roku przez 29 lat wpłacasz €2 500, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 4 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 29? Wyznacz FV.

A = €2 500i = 4%n = 29

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €5 000, €5 000, €8 000, €7 000. Koszt kapitału wynosi 15 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 15%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 5 000CF₃ = 8 000CF₄ = 7 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €10 000, €12 000, €13 000 na koniec lat od 1 do 3. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 8 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.

r = 8%CF₀ = −25 000CF₁ = 10 000CF₂ = 12 000CF₃ = 13 000

MIRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 5 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €1 022, gdy rentowność do wykupu wynosi 4%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 5P = €1 022YTM = 4%

c = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% i zapada za 5 lat. Rentowność do wykupu wynosi 9%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 2%n = 5YTM = 9%

D = lata

7.CAPM i WACCŚredni

Akcja o becie 1,6 ma wymaganą stopę zwrotu 13,6%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 4%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku r_m implikuje CAPM?

β = 1,6r_e = 13,6%r_f = 4%

r_m = %

8.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,9. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,5. Stawka podatku wynosi 28%, stopa wolna od ryzyka 3%, a rynkowa premia za ryzyko 6,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 0,9D/E = 0,5T = 28%r_f = 3%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 18, 14, 37, 18, 40, 17, 43.

n = 7

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 15. Wyznacz wynik z z dla wyniku 122,5.

μ = 100σ = 15x = 122,5

z =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,15, 0,3, 0,35

Var(X) =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 8 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,25, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 2 poprawnych odpowiedzi?

n = 8p = 0,25k = 2

P =

13.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 4 g; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 500 g i odchyleniem standardowym 9 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 740,2 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 740,2 g

P =

14.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 15% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 100 pktσ = 15 pkt15%

x = pkt

15.Przedziały ufnościŚredni

Próba 11 elementów ma średnią 82,5 i odchylenie standardowe s = 11. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 11x̄ = 82,5s = 1199%t(10) = 3,169

dolna granica =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 25. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?

σ = 25E = 290%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 64 studentów ma średni wynik 201,1 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201,1s = 12n = 64

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 81 pomiarów ma średnią 118,3. Odchylenie standardowe populacji wynosi 5. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.

x̄ = 118,3σ = 5n = 8190%

U =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5Σx = 105Σy = 220Σx² = 2295Σy² = 10744Σxy = 4920

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (5,5, 17). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 17)

e =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 25402 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·8 = 32

Wartość przyszła

FV = 20 000·(1 + 0,0075)³² = 20 000·1,27 = €25 402,22

Odpowiedź

FV = €25 402,22

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 137712 €

Współczynnik renty zwykłej

((1 + 0,04)²⁹ − 1)/0,04 = 52,97

Renta płatna z góry

Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.

FV = 2 500·52,97·1,04 = €137 712,34

Odpowiedź

FV = €137 712,34

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −2609 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 5 000/1,15 = 4 347,83

CF₂/(1 + 0,15)² = 5 000/1,322 = 3 780,72

CF₃/(1 + 0,15)³ = 8 000/1,521 = 5 260,13

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 7 000/1,749 = 4 002,27

Zsumuj

NPV = €−2 609,05

Odpowiedź

NPV = €−2 609,05

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: MIRR = 14,6 %

Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Wartość końcowa wpływów

10 000·1,08² = 11 664,00

12 000·1,08¹ = 12 960,00

13 000·1,08⁰ = 13 000,00

TV = 37 624,00

MIRR

MIRR = (37 624,00/25 000)^1/3 − 1 = 14,6%

Odpowiedź

MIRR = 14,6%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 4,494 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,04)⁻⁵ = €821,93

Kupon

C = (1022 − 821,93)/4,452 = €44,94

Oprocentowanie kuponu

c = 44,94/1000 = 4,494%

Odpowiedź

c = 4,494%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 4,768 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 20/1,09 = 18,35, t·PV = 18,35

t = 2: 20/1,188 = 16,83, t·PV = 33,67

t = 3: 20/1,295 = 15,44, t·PV = 46,33

t = 4: 20/1,412 = 14,17, t·PV = 56,67

t = 5: 1020/1,539 = 662,93, t·PV = 3 314,65

Duration

P = 727,72

D = 3 469,67/727,72 = 4,768

Odpowiedź

D = 4,768 lata

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_m = 10 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Rynkowa premia za ryzyko

r_m − r_f = (13,6% − 4%)/1,6 = 6%

Stopa zwrotu z rynku

r_m = 4% + 6% = 10%

Odpowiedź

r_m = 10%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 10,96 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 0,9·(1 + 0,72·0,5) = 1,224

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3% + 1,224·6,5% = 10,96%

Odpowiedź

r_e = 10,96%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 12,62

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 187/7 = 26,71

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−8,714)² + (−12,71)² + 10,29² + (−8,714)² + 13,29² + (−9,714)² + 16,29² = 955,4

Odchylenie standardowe

s = √(955,4/6) = 12,62

Odpowiedź

s = 12,62

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1,5

Standaryzuj

z = (122,5 − 100)/15 = 1,5

Odpowiedź

z = 1,5

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 1,26

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,2 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,35 = 2,8

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,35 = 9,1

Wariancja

Var(X) = 9,1 − 2,8² = 1,26

Odpowiedź

Var(X) = 1,26

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,3115

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Wzór dwumianowy

P(X = 2) = 28·0,25²·0,75⁶ = 28·0,0625·0,178 = 0,3115

Odpowiedź

P = 0,3115

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8413

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standaryzuj

z = (740,2 − 750)/9,849 = −1

Górny ogon

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Odpowiedź

P = 0,8413

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 115,6 pkt

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,85

z z tablicy

z ≈ 1,04

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 100 + 1,04·15 = 115,6 pkt

Odpowiedź

x = 115,6 pkt

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 71,99

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Margines błędu

E = 3,169·11/√11 = 10,51

Przedział

82,5 ± 10,51 → [71,99, 93,01]

Odpowiedź

dolna granica = 71,99

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 423

Wyznacz n

n = (1,645·25/2)² = 422,8

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 423

Odpowiedź

n = 423

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 0,7333

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5

Statystyka testowa

t = (201,1 − 200)/1,5 = 0,7333

Odpowiedź

t = 0,7333

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 119,2

Margines błędu

E = 1,645·5/√81 = 0,9139

Granica przedziału

U = 118,3 + 0,9139 = 119,2

Odpowiedź

U = 119,2

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9695

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 4920 − 105·220/5 = 300

S_xx = 2295 − 105²/5 = 90

S_yy = 10744 − 220²/5 = 1064

Współczynnik korelacji

r = 300/√(90·1064) = 0,9695

Odpowiedź

r = 0,9695

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 5,362

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 100/6 = 16,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44

Prosta regresji

b = −44/17,5 = −2,514

a = 16,67 − (−2,514)·3,5 = 25,47

ŷ = 25,47 − 2,514·x

Wartość przewidywana

ŷ = 25,47 + (−2,514)·5,5 = 11,64

Reszta

e = 17 − 11,64 = 5,362

Odpowiedź

e = 5,362

Punkt leży nad prostą.

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income