Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €9 000, €11 500, €9 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 11 500CF3 = 9 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 6 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 2%YTM = 3%n = 6
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja jest notowana po €1 100 przy rentowności do wykupu 6% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 3,6 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność spadnie o 100 punktów bazowych.
P0 = €1 100y = 6%D = 3,6Δy = −100 bp
P = €
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €8 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 3,5%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.
Firma ma 1 000 000 akcji notowanych po €28,00; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €14 000 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €2,70 na akcję, a dywidendy rosną o 4% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €14 000 000 i koszt przed opodatkowaniem 3%. Stawka podatku wynosi 25,8%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 59, 25, 37, 50, 23.
n = 5
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży powyżej 160,4?
μ = 170σ = 8x = 160,4
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 6 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 6
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 8 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,2, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 4 poprawnych odpowiedzi?
n = 8p = 0,2k = 4
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
X ma rozkład normalny ze średnią 60 s i odchyleniem standardowym 5 s; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 45 s i odchyleniem standardowym 4 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 95,4 s. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 95,4 s
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 5% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 500 hσ = 40 h5%
x = h
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 6 elementów ma średnią 35 i odchylenie standardowe s = 8,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 6x̄ = 35s = 8,599%t(5) = 4,032
E =
16.Przedziały ufnościTrudny
Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,1 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 95 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,025?
p ≈ 0,1E = 0,02595%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 80 części ma średnią długość 137,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 12 mm. Linia 2: próba 60 części ma średnią 136,2 mm, znane odchylenie standardowe 7 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 20 z 80 pacjentów leczonych metodą A i 51 z 300 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 20n₁ = 80x₂ = 51n₂ = 300
z =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6Σx = 21Σy = 147Σx² = 91Σy² = 3633Σxy = 495
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (21, 91). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(21, 91)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 6995 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa i liczba okresów
i = 0,06/4 = 0,015
N = 4·6 = 24
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,43 = €6 995,44
Odpowiedź
PV = €6 995,44
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 359668 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 5 000/1,06 = 4 716,98
CF2/(1 + 0,06)2 = 5 000/1,124 = 4 449,98
CF3/(1 + 0,06)3 = 9 000/1,191 = 7 556,57
Zsumuj
NPV = €−3 276,46
Odpowiedź
NPV = €−3 276,46
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 23,08 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(20%) = 983,80
NPV(25%) = −576,00
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
IRR ≈ 20 + 5·983,80/(983,80 − (−576,00)) = 23,15%
dokładnie: NPV(23,08%) = 0 → IRR = 23,08%
Odpowiedź
IRR = 23,08%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 945,5 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €10,00, i = 0,015, N = 12
Wartość bieżąca kuponów
€10,00·(1 − 0,8364)/0,015 = €109,08
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,8364 = €836,39
Cena
P = €945,46
Odpowiedź
P = €945,46
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 1137 €
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Zmodyfikowana duration
Dmod = 3,6/1,06 = 3,396
Szacowana zmiana ceny
%ΔP ≈ −3,396·(−0,01) = 3,396%
P ≈ 1100·(1 + 0,03396) = €1 137,36
Odpowiedź
P = €1 137,36
Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,231 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1,2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Odpowiedź
P = 0,8849
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,6651
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Odpowiedź
P = 0,6651
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,04588
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standaryzuj
z = (95,4 − 105)/6,403 = −1,5
Górny ogon
P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332
Odpowiedź
P = 0,9332
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 434 h
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,05
z z tablicy
z ≈ −1,64
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 500 − 1,64·40 = 434 h
Odpowiedź
x = 434 h
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 13,99
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 5, t = 4,032
Margines błędu
E = 4,032·8,5/√6 = 13,99
Odpowiedź
E = 13,99
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 554
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Wyznacz n
n = 1,96²·0,1·0,9/0,025² = 553,2
Zaokrąglij w górę
n = 554
Odpowiedź
n = 554
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 0,8037
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Błąd standardowy różnicy
SE = √(12²/80 + 7²/60) = √2,617 = 1,618
Statystyka testowa
z = (137,5 − 136,2)/1,618 = 0,8037
Odpowiedź
z = 0,8037
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 1,631
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 20/80 = 0,25
p̂₂ = 51/300 = 0,17
p̂ = 71/380 = 0,1868
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,1868·0,8132·(1/80 + 1/300)) = 0,04905
Statystyka testowa
z = (0,25 − 0,17)/0,04905 = 1,631
Odpowiedź
z = 1,631
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,8305
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 495 − 21·147/6 = −19,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 3633 − 147²/6 = 31,5
Współczynnik korelacji
r = −19,5/√(17,5·31,5) = −0,8305
Odpowiedź
r = −0,8305
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = 3,329
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 471/6 = 78,5
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 321
Prosta regresji
b = 321/70 = 4,586
a = 78,5 − 4,586·19 = −8,629
ŷ = −8,629 + 4,586·x
Wartość przewidywana
ŷ = −8,629 + 4,586·21 = 87,67
Reszta
e = 91 − 87,67 = 3,329
Odpowiedź
e = 3,329
Punkt leży nad prostą.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.