Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Renta wypłaca €3 000 na koniec każdego roku przez 13 lat. Stopa procentowa wynosi 4 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.

A = €3 000i = 4%n = 13

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Pożyczasz €25 000 przy 7,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €350 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.

P = €25 000A = €3507,2% / 12

N = raty

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €37 000, €23 000, €35 000, €23 000. Koszt kapitału wynosi 15 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 15%CF₀ = −75 000CF₁ = 37 000CF₂ = 23 000CF₃ = 35 000CF₄ = 23 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €29 500, €15 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −40 000CF₁ = 29 500CF₂ = 15 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 13 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €906, gdy rentowność do wykupu wynosi 5%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 13P = €906YTM = 5%

c = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €1 070. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 7%n = 9P = €1 070

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €12 000 000 i dług o wartości €6 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.

E = €12 000 000D = €6 000 000r_e = 13%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 2 500 000 akcji po €30,00 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €1 050 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 7%, a stopa podatkowa 21%. Współczynnik beta akcji to 0,8, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a stopa zwrotu z rynku 8,5%. Wyznacz WACC.

β = 0,8r_f = 3,5%r_m = 8,5%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 59, 46, 37, 47, 57.

n = 5

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 90.

μ = 70σ = 20x = 90

z =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 10 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 10k = 2

N =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €1. Wygrywasz €5 z prawdopodobieństwem 0,15 i €10 z prawdopodobieństwem 0,02; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €1€5: p = 0,15€10: p = 0,02

E(G) = €

13.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,9265. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,9265

z =

14.Rozkład normalnyTrudny

Czas okrążenia X biegacza A i czas okrążenia Y biegacza B są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 52 s i odchylenie standardowe 4 s, Y ma średnią 48 s i odchylenie standardowe 3 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.Przedziały ufnościŚredni

Próba 11 elementów ma średnią 86 i odchylenie standardowe s = 11. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 11x̄ = 86s = 1199%t(10) = 3,169

górna granica =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 3. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?

σ = 3E = 0,590%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 81 studentów ma średni wynik 197,6 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 197,6s = 12n = 81

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 80 przeciw H₁: μ < 80 przeprowadza się na poziomie α = 0.05 na próbie o liczebności 36; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 15. W rzeczywistości średnia wynosi 73.5. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.

μ₀ = 80μ = 73,5σ = 15n = 36α = 0,05

β = %

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 10?

n = 5ŷ = 10

x =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 29957 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,6006)/0,04 = 9,986

Wartość bieżąca

PV = 3 000·9,986 = €29 956,94

Odpowiedź

PV = €29 956,94

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: N = 94 raty

Przekształć wzór na rentę

i = 0,006

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0,006/350 = 0,5714

Rozwiąż za pomocą logarytmów

N = −ln(0,5714)/ln(1,006) = 93,55

Zaokrąglij w górę do pełnych rat

93 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.

N = 94

Odpowiedź

N = 94 raty

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 10729 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 37 000/1,15 = 32 173,91

CF₂/(1 + 0,15)² = 23 000/1,322 = 17 391,30

CF₃/(1 + 0,15)³ = 35 000/1,521 = 23 013,07

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 23 000/1,749 = 13 150,32

Zsumuj

NPV = €10 728,61

Odpowiedź

NPV = €10 728,61

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 8,358 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(5%) = 1 700,68

NPV(10%) = −785,12

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 5 + 5·1 700,68/(1 700,68 − (−785,12)) = 8,421%

dokładnie: NPV(8,358%) = 0 → IRR = 8,358%

Odpowiedź

IRR = 8,358%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 3,999 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,05)⁻¹³ = €530,32

Kupon

C = (906 − 530,32)/9,394 = €39,99

Oprocentowanie kuponu

c = 39,99/1000 = 3,999%

Odpowiedź

c = 3,999%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 5,972 %

Równanie dla rentowności

€1 070 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Rozwiąż numerycznie

P(5%) = €1 142,16, P(6%) = €1 068,02

YTM = 5,972%

Odpowiedź

YTM = 5,972%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 10,53 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €18 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·13% + 0,3333·7%·(1 − 0,2) = 10,53%

Odpowiedź

WACC = 10,53%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,069 %

Wartości rynkowe

E = 2 500 000·€30,00 = €75 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,8·5% = 7,5%

Wagi

V = €96 000 000, E/V = 0,7813, D/V = 0,2188

WACC

WACC = 0,7813·7,5% + 0,2188·7%·(1 − 0,21) = 7,069%

Odpowiedź

WACC = 7,069%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 8,955

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 246/5 = 49,2

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 9,8² + (−3,2)² + (−12,2)² + (−2,2)² + 7,8² = 320,8

Odchylenie standardowe

s = √(320,8/4) = 8,955

Odpowiedź

s = 8,955

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1

Standaryzuj

z = (90 − 70)/20 = 1

Odpowiedź

z = 1

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 45

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45

Odpowiedź

N = 45

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = −0,05 €

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Wyniki netto

G: 4 (p = 0,15), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,83)

Wartość oczekiwana

E(G) = 4·0,15 + 9·0,02 − 1·0,83 = −0,05 €

Odpowiedź

E(G) = −0,05 €

Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,79

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,9265)/2 = 0,9633

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9633 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,79

Odpowiedź

z = 1,79

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7881

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standaryzuj

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Odpowiedź

P = 0,7881

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 96,51

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Margines błędu

E = 3,169·11/√11 = 10,51

Przedział

86 ± 10,51 → [75,49, 96,51]

Odpowiedź

górna granica = 96,51

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 98

Wyznacz n

n = (1,645·3/0,5)² = 97,42

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 98

Odpowiedź

n = 98

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,8

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Statystyka testowa

t = (197,6 − 200)/1,333 = −1,8

Odpowiedź

t = −1,8

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: β = 16,98 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 15/√36 = 2,5

x̄_c = 80 − 1,645·2,5 = 75,89

z przy prawdziwej średniej

z = (75,89 − 73,5)/2,5 = 0,955

Błąd II rodzaju

moc = P(Z < 0.955) = 83.02%

β = 100% − 83,02% = 16,98%

Odpowiedź

β = 16,98%

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9915

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 350/5 = 70

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 174

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 770

Współczynnik korelacji

r = 174/√(40·770) = 0,9915

Odpowiedź

r = 0,9915

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 4,394

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 73/5 = 14,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

Prosta regresji

b = −33/10 = −3,3

a = 14,6 − (−3,3)·3 = 24,5

ŷ = 24,5 − 3,3·x

Wyznacz x

x = (10 − 24,5)/(−3,3) = 4,394

Odpowiedź

x = 4,394

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income