Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 22 % rocznie z kapitalizacją dziennie. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 22%m = 365

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Za 11 lat chcesz mieć €100 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 7,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.

FV = €100 0007,2% / 12N = 132

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €50 000. Przynosi €9 000 na koniec każdego roku przez 7 lat, a potem można ją sprzedać za €7 500. Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €50 000CF = €9 000S = €7 500n = 7r = 6%

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €18 000, €17 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 000CF₂ = 17 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% i zapada za 4 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 2,5% na 4,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 3%n = 4y₁ = 2,5%y₂ = 4,5%

ΔP = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 8 latach, a jej cena wynosi €945. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 7%n = 8P = €945

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €12 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €500 000 i długiem o wartości €4 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt akcji uprzywilejowanych 8%, a koszt długu przed opodatkowaniem 3%. Stawka podatku wynosi 25%. Wyznacz WACC.

E = €12 000 000P_s = €500 000D = €4 000 000r_e = 13%r_p = 8%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 4 000 000 akcji po €56,50 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €1 050 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4%, a stopa podatkowa 30%. Współczynnik beta akcji to 0,6, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a stopa zwrotu z rynku 7,5%. Wyznacz WACC.

β = 0,6r_f = 3,5%r_m = 7,5%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 45, 37, 36, 35, 53, 14, 29.

n = 7

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży poniżej 90?

μ = 100σ = 20x = 90

P =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 8 kul czerwonych i 7 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

8 / 7

P =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €1. Wygrywasz €4 z prawdopodobieństwem 0,3 i €50 z prawdopodobieństwem 0,05; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €1€4: p = 0,3€50: p = 0,05

E(G) = €

13.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,7019. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,7019

z =

14.Rozkład normalnyTrudny

Czas okrążenia X biegacza A i czas okrążenia Y biegacza B są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 52 s i odchylenie standardowe 4 s, Y ma średnią 48 s i odchylenie standardowe 3 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.Przedziały ufnościŚredni

Próba 10 elementów ma średnią 43 i odchylenie standardowe s = 16,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 10x̄ = 43s = 16,590%t(9) = 1,833

E =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 24. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 4?

σ = 24E = 490%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 7 uczniów, średni wynik 27, odchylenie standardowe 7. Grupa 2: 19 uczniów, średni wynik 15,6, odchylenie standardowe 7,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 7x̄₁ = 27s₁ = 7n₂ = 19x̄₂ = 15,6s₂ = 7,5

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 500 przeciw H₁: μ > 500 przeprowadza się na poziomie α = 0,05 na próbie o liczebności 100; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 5. W rzeczywistości średnia wynosi 501,1. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.

μ₀ = 500μ = 501,1σ = 5n = 100α = 0,05

1 − β = %

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 36Σy = 264Σx² = 286Σy² = 12374Σxy = 1810

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 15?

n = 6ŷ = 15

x =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 24,6 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,22/365 = 0,0006027

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,0006027)³⁶⁵ − 1 = 1,246 − 1 = 24,6%

Odpowiedź

EAR = 24,6%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 498,9 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·11 = 132

Wpłata

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0,006/(2,203 − 1) = €498,92

Odpowiedź

A = €498,92

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 5229 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca rocznych przepływów

9 000·5,582 = 50 241,43

Wartość bieżąca wartości końcowej

7 500/1,504 = 4 987,93

NPV

NPV = −50 000 + 50 241,43 + 4 987,93 = €5 229,36

Odpowiedź

NPV = €5 229,36

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 25,98 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(25%) = 280,00

NPV(30%) = −1 094,67

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 25 + 5·280,00/(280,00 − (−1 094,67)) = 26,02%

dokładnie: NPV(25,98%) = 0 → IRR = 25,98%

Odpowiedź

IRR = 25,98%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = −72,62 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €30,00, i = 0,025, N = 4

€30,00·(1 − 0,906)/0,025 + €1 000·0,906 = €112,86 + €905,95 = €1 018,81

Cena przy nowej rentowności

C = €30,00, i = 0,045, N = 4

€30,00·(1 − 0,8386)/0,045 + €1 000·0,8386 = €107,63 + €838,56 = €946,19

Zmiana

ΔP = 946,19 − 1 018,81 = −€72,62

Odpowiedź

ΔP = −€72,62

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 7,955 %

Równanie dla rentowności

€945 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Rozwiąż numerycznie

P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €942,53

YTM = 7,955%

Odpowiedź

YTM = 7,955%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 10,24 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = 12 000 000 + 500 000 + 4 000 000 = €16 500 000

E/V = 0,7273, P_s/V = 0,0303, D/V = 0,2424

WACC

WACC = 0,7273·13% + 0,0303·8% + 0,2424·3%·(1 − 0,25) = 10,24%

Odpowiedź

WACC = 10,24%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,762 %

Wartości rynkowe

E = 4 000 000·€56,50 = €226 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,6·4% = 5,9%

Wagi

V = €236 500 000, E/V = 0,9556, D/V = 0,0444

WACC

WACC = 0,9556·5,9% + 0,0444·4%·(1 − 0,3) = 5,762%

Odpowiedź

WACC = 5,762%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 12,27

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 249/7 = 35,57

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 9,429² + 1,429² + 0,4286² + (−0,5714)² + 17,43² + (−21,57)² + (−6,571)² = 903,7

Odchylenie standardowe

s = √(903,7/6) = 12,27

Odpowiedź

s = 12,27

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,3085

Standaryzuj

z = −0,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Odpowiedź

P = 0,3085

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2667

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 8/15 · 7/14 = 56/210 = 0,2667

Odpowiedź

P = 0,2667

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 2,7 €

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Wyniki netto

G: 3 (p = 0,3), 49 (p = 0,05), −1 (p = 0,65)

Wartość oczekiwana

E(G) = 3·0,3 + 49·0,05 − 1·0,65 = 2,7 €

Odpowiedź

E(G) = 2,7 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = −0,53

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,7019 = 0,2981

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,2981 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = −0,53

Odpowiedź

z = −0,53

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7881

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standaryzuj

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Odpowiedź

P = 0,7881

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 9,564

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 9, t = 1,833

Margines błędu

E = 1,833·16,5/√10 = 9,564

Odpowiedź

E = 9,564

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 98

Wyznacz n

n = (1,645·24/4)² = 97,42

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 98

Odpowiedź

n = 98

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 3,495

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (6·7² + 18·7,5²)/24 = 54,44

s_p = 7,378

Błąd standardowy

SE = 7,378·√(1/7 + 1/19) = 3,262

Statystyka testowa

t = (27 − 15,6)/3,262 = 3,495

Odpowiedź

t = 3,495

Przy df = 24 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,064; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: 1 − β = 71,06 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 5/√100 = 0,5

x̄_c = 500 + 1,645·0,5 = 500,8

z przy prawdziwej średniej

z = (500,8 − 501,1)/0,5 = −0,555

Moc

moc = P(Z > −0,555) = 71,06%

1 − β = 71,06%

Odpowiedź

1 − β = 71,06%

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9811

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 1810 − 36·264/6 = 226

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 12374 − 264²/6 = 758

Współczynnik korelacji

r = 226/√(70·758) = 0,9811

Odpowiedź

r = 0,9811

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 4,356

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 101/6 = 16,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37,5

Prosta regresji

b = −37,5/17,5 = −2,143

a = 16,83 − (−2,143)·3,5 = 24,33

ŷ = 24,33 − 2,143·x

Wyznacz x

x = (15 − 24,33)/(−2,143) = 4,356

Odpowiedź

x = 4,356

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income