Za 10 lat potrzebujesz €15 000. Konto daje 3,6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.
FV = €15 0003,6% / 12n = 10
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €8 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 4 lat. Oprocentowanie wynosi 5,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €8 0005,4% / 12N = 48
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €30 000, działa przez 7 lat, a jej eksploatacja kosztuje €1 500 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.
C0 = €30 000M = €1 500n = 7r = 8%
EAC = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €10 500, €13 500, €10 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −25 000CF1 = 10 500CF2 = 13 500CF3 = 10 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 6 latach. Rentowność do wykupu wynosi 8% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 5%YTM = 8%n = 6
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 12 lat. Kosztuje €732. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.
F = €1 000kupon = 2% (2×)n = 12P = €732
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €5 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €1 500 000 i długiem o wartości €3 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt akcji uprzywilejowanych 8%, a koszt długu przed opodatkowaniem 5%. Stawka podatku wynosi 30%. Wyznacz WACC.
Firma ma 4 000 000 akcji notowanych po €35,50; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €71 000 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €1,60 na akcję, a dywidendy rosną o 2% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €71 000 000 i koszt przed opodatkowaniem 4,5%. Stawka podatku wynosi 30%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.
X ma rozkład normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 4 g; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 500 g i odchyleniem standardowym 9 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 762,3 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 762,3 g
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 90% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 178 cmσ = 7 cm90%
x = cm
15.Przedziały ufnościŚredni
Przedział ufności 99 % dla średniej, oparty na 50 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 6,1. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 90 % opartego na 450 obserwacjach?
99%n₁ = 50E₁ = 6,190%n₂ = 450
E₂ =
16.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 11 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 6,4 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 10 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 3,247, a 2,5 % powyżej 20,483.
n = 11s = 6,4 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
11 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi −1,33, a odchylenie standardowe różnic 4,9. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 11d̄ = −1,33sd = 4,9
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2? Odchylenie standardowe wynosi 20. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 20E = 299%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 5
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 98?
n = 6ŷ = 98
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 10471 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa i liczba okresów
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·10 = 120
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,433 = €10 470,79
Odpowiedź
PV = €10 470,79
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 185,7 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·4 = 48
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,8061
A = 8 000·0,0045/(1 − 0,8061) = €185,69
Odpowiedź
A = €185,69
3.NPV i IRR
Odpowiedź: EAC = 7262 €
Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − 1,08−7)/0,08 = 5,206
Zannualizowana cena zakupu
30 000/5,206 = 5 762,17
EAC
EAC = 5 762,17 + 1 500 = €7 262,17
Odpowiedź
EAC = €7 262,17
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 17,2 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(15%) = 913,54
NPV(20%) = −1 087,96
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €25,00, i = 0,04, N = 12
Wartość bieżąca kuponów
€25,00·(1 − 0,6246)/0,04 = €234,63
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,6246 = €624,60
Cena
P = €859,22
Odpowiedź
P = €859,22
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 4,996 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €10,00, N = 24
Rozwiąż numerycznie
i = 2,498% na półrocze
YTM
YTM = 2·2,498% = 4,996%
Odpowiedź
YTM = 4,996%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 9,737 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1,2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Odpowiedź
P = 0,1151
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,5177
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Odpowiedź
P = 0,5177
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σY = 0,7726
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Rozrzut X
μ = 2,25, Var(X) = 2,387, σX = 1,545
Zmiana liniowa
σY = |0,5|·1,545 = 0,7726
Odpowiedź
σY = 0,7726
Średnia się przesuwa: E(Y) = 0,5·2,25 + 4 = 5,125.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,1056
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standaryzuj
z = (762,3 − 750)/9,849 = 1,25
Górny ogon
P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056
Odpowiedź
P = 0,1056
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 169 cm
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,1
z z tablicy
z ≈ −1,28
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 178 − 1,28·7 = 169 cm
Odpowiedź
x = 169 cm
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E₂ = 1,298
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Stosunek marginesów
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(50/450) = 0,2129
Nowy margines
E₂ = 6,1·0,2129 = 1,298
Odpowiedź
E₂ = 1,298
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 11,23 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 10·6,4² = 409,6
Granice dla σ²
409,6/20,483 = 20
409,6/3,247 = 126,1
Granica dla σ
σ = √126,1 = 11,23 µm
Odpowiedź
σ = 11,23 µm
Przedział 95 % dla σ: [4,472, 11,23] µm.
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −0,9002
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 4,9/√11 = 1,477
Statystyka testowa
t = −1,33/1,477 = −0,9002
Odpowiedź
t = −0,9002
Przy df = 10 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,228; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 664
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (2,576·20/2)² = 663,6
Zaokrąglij w górę
n = 664
Odpowiedź
n = 664
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9713
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 77/5 = 15,4
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98
Syy = Σ(y − ȳ)² = 247,2
Współczynnik determinacji
r² = 98²/(40·247,2) = 0,9713
Odpowiedź
r² = 0,9713
Około 97,13% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 23,09
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 491/6 = 81,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 277
Prosta regresji
b = 277/70 = 3,957
a = 81,83 − 3,957·19 = 6,648
ŷ = 6,648 + 3,957·x
Wyznacz x
x = (98 − 6,648)/3,957 = 23,09
Odpowiedź
x = 23,09
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.