Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €12 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 2,5 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 6,5 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €12 000g = 2,5%r = 6,5%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €250 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 30 lat. Oprocentowanie wynosi 3,6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €250 0003,6% / 12N = 360
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €13 000, €10 000, €17 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €29 500, €20 500, €22 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −40 000CF1 = 29 500CF2 = 20 500CF3 = 22 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% i zapada za 13 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 5% na 4%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?
F = €1 000kupon = 6%n = 13y1 = 5%y2 = 4%
ΔP = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja jest notowana po €1 090 przy rentowności do wykupu 5% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 6,8 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność wzrośnie o 25 punktów bazowych.
P0 = €1 090y = 5%D = 6,8Δy = +25 bp
P = €
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €8 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.
Spółka ma 2 500 000 akcji po €36,50 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €1 050 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3%, a stopa podatkowa 21%. Współczynnik beta akcji to 1,1, stopa wolna od ryzyka 4%, a stopa zwrotu z rynku 8%. Wyznacz WACC.
β = 1,1rf = 4%rm = 8%rd = 3%T = 21%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 43, 31, 59, 35, 34, 48, 10.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży poniżej 97,5?
μ = 100σ = 5x = 97,5
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 3 osób z grupy 15 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 15k = 3
N =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
X ma pokazany rozkład, a Y = 2X + 1. Wyznacz odchylenie standardowe σY zmiennej Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,3, 0,35, 0,25Y = 2X + 1
σY =
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Jaka część wartości leży między 244,25 a 257,75 g? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 250σ = 5x1 = 244,25x2 = 257,75
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,02 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
otwór: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 13 elementów ma średnią 94 i odchylenie standardowe s = 16. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 13x̄ = 94s = 1695%t(12) = 2,179
dolna granica =
16.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 12 poletek, średni plon 55,5 kg, odchylenie standardowe 2 kg. Grupa poletek 2: 5 poletek, średnia 60,5 kg, odchylenie standardowe 9 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 50 części ma średnią długość 111 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 14 mm. Linia 2: próba 100 części ma średnią 105,4 mm, znane odchylenie standardowe 12 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1? Odchylenie standardowe wynosi 8. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 8E = 199%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 6
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 62?
n = 6ŷ = 62
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 300000 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·30 = 360
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,3401
A = 250 000·0,003/(1 − 0,3401) = €1 136,61
Odpowiedź
A = €1 136,61
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −10894 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 13 000/1,08 = 12 037,04
CF2/(1 + 0,08)2 = 10 000/1,166 = 8 573,39
CF3/(1 + 0,08)3 = 17 000/1,26 = 13 495,15
Zsumuj
NPV = €−10 894,43
Odpowiedź
NPV = €−10 894,43
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 39,05 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(35%) = 2 041,86
NPV(40%) = −451,90
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Zmodyfikowana duration
Dmod = 6,8/1,05 = 6,476
Szacowana zmiana ceny
%ΔP ≈ −6,476·(0,0025) = −1,619%
P ≈ 1090·(1 − 0,01619) = €1 072,35
Odpowiedź
P = €1 072,35
Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 10,35 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €10 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·12% + 0,2·5%·(1 − 0,25) = 10,35%
Odpowiedź
WACC = 10,35%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,072 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −0,5
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Odpowiedź
P = 0,3085
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 455
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455
Odpowiedź
N = 455
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σY = 1,884
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Rozrzut X
μ = 1,75, Var(X) = 0,8875, σX = 0,9421
Zmiana liniowa
σY = |2|·0,9421 = 1,884
Odpowiedź
σY = 1,884
Średnia się przesuwa: E(Y) = 2·1,75 + 1 = 4,5.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,8144
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15
z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55
Pole pomiędzy
P = Φ(1,55) − Φ(−1,15) = 0,9394 − 0,1251 = 0,8144
Odpowiedź
P = 0,8144
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,8264
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02121 mm
Standaryzuj
z = (0 − 0,02)/0,02121 = −0,94
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−0,94) = 0,8264
Odpowiedź
P = 0,8264
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 84,33
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Margines błędu
E = 2,179·16/√13 = 9,67
Przedział
94 ± 9,67 → [84,33, 103,7]
Odpowiedź
dolna granica = 84,33
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 5,618 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (11·2² + 4·9²)/15 = 24,53
sp = 4,953
Margines błędu
E = 2,131·4,953·√(1/12 + 1/5) = 5,618
Odpowiedź
E = 5,618 kg
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 2,419
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Błąd standardowy różnicy
SE = √(14²/50 + 12²/100) = √5,36 = 2,315
Statystyka testowa
z = (111 − 105,4)/2,315 = 2,419
Odpowiedź
z = 2,419
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 425
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (2,576·8/1)² = 424,7
Zaokrąglij w górę
n = 425
Odpowiedź
n = 425
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9577
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 361/6 = 60,17
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 87,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 456,8
Współczynnik determinacji
r² = 87,5²/(17,5·456,8) = 0,9577
Odpowiedź
r² = 0,9577
Około 95,77% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 3,957
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 529/6 = 88,17
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 453
Prosta regresji
b = 453/70 = 6,471
a = 88,17 − 6,471·8 = 36,4
ŷ = 36,4 + 6,471·x
Wyznacz x
x = (62 − 36,4)/6,471 = 3,957
Odpowiedź
x = 3,957
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.