Inwestujesz €8 000 przy nominalnej stopie 3,6 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 3 latach.
PV = €8 0003,6% / 4n = 3
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €15 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 6 lat. Oprocentowanie wynosi 7,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €15 0007,2% / 12N = 72
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €30 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €6 000, €10 000, €11 000, €12 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje dziś €80 000. Jego przepływ wynosi €11 500 na koniec roku 1 i rośnie o 3 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 7. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €80 000CF1 = €11 500g = 3%n = 7r = 12%
NPV = €
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 11 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 5%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 5,5%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 5%n = 11y0 = 5,5%y1 = 5%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 6% zostanie wykupiona po 5 latach, a jej cena wynosi €1 090. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 6%n = 5P = €1 090
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Akcja o becie 2 ma wymaganą stopę zwrotu 11,5%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 1,5%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku rm implikuje CAPM?
β = 2re = 11,5%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM i WACCTrudny
Akcje firmy mają betę 1,3 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,4. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 1,25. Stawka podatku wynosi 25%, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a rynkowa premia za ryzyko 6%. Wyznacz koszt kapitału własnego re po zmianie.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 27, 11, 59, 56, 60, 53.
n = 6
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 97,5.
μ = 100σ = 5x = 97,5
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 6 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 6
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 7 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 7p = 0,1
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Masy pasażerów z bagażem są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 85 kg i odchyleniem standardowym 12 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 8 z nich będzie mniejsza niż 646,1 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8< 646.1 kg
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 95% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 500 hσ = 40 h95%
x = h
15.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 30 telefonów, średnia 126,5 h, znane odchylenie standardowe 18 h. Model 2: 50 telefonów, średnia 129 h, znane odchylenie standardowe 19 h. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.
Próba 81 studentów ma średni wynik 199,2 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 199,2s = 5n = 81
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 4 jednostek z mocą 80 %. Odchylenie standardowe wynosi 10. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,01moc = 80%δ = 4σ = 10zα = 2,326zβ = 0,842
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 84?
n = 5ŷ = 84
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 8908 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·6 = 72
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,65
A = 15 000·0,006/(1 − 0,65) = €257,18
Odpowiedź
A = €257,18
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −1215 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 6 000/1,12 = 5 357,14
CF2/(1 + 0,12)2 = 10 000/1,254 = 7 971,94
CF3/(1 + 0,12)3 = 11 000/1,405 = 7 829,58
CF4/(1 + 0,12)4 = 12 000/1,574 = 7 626,22
Zsumuj
NPV = €−1 215,12
Odpowiedź
NPV = €−1 215,12
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −23309 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: HPR = 9,428 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 090 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Rozwiąż numerycznie
P(3%) = €1 137,39, P(4%) = €1 089,04
YTM = 3,98%
Odpowiedź
YTM = 3,98%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: rm = 6,5 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Rynkowa premia za ryzyko
rm − rf = (11,5% − 1,5%)/2 = 5%
Stopa zwrotu z rynku
rm = 1,5% + 5% = 6,5%
Odpowiedź
rm = 6,5%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 15,13 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Usuń dźwignię z bety
βU = 1,3/(1 + 0,75·0,4) = 1
Zlewaruj ponownie przy nowym D/E
βL = 1·(1 + 0,75·1,25) = 1,938
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 3,5% + 1,938·6% = 15,13%
Odpowiedź
re = 15,13%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 20,41
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (97,5 − 100)/5 = −0,5
Odpowiedź
z = −0,5
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,6651
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Odpowiedź
P = 0,6651
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,8503
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,97 = 0,4783
P(X = 1) = 7·0,1·0,96 = 0,372
Dodaj
P = 0,4783 + 0,372 = 0,8503
Odpowiedź
P = 0,8503
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,1587
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy całkowitej
μT = 680 kg, σT = 12·√8 = 33,94 kg
Standaryzuj
z = (646,1 − 680)/33,94 = −1
Prawdopodobieństwo
P = Φ(−1) = 0,1587
Odpowiedź
P = 0,1587
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 434 h
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,05
z z tablicy
z ≈ −1,64
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 500 − 1,64·40 = 434 h
Odpowiedź
x = 434 h
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 8,32 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 126,5 − 129 = −2,5
Błąd standardowy
SE = √(18²/30 + 19²/50) = 4,245
Margines błędu
E = 1,96·4,245 = 8,32
Odpowiedź
E = 8,32 h
Przedział zawiera 0, więc dane nie wykazują istotnej różnicy.
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 3,974 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (5·6² + 10·1,5²)/15 = 13,5
sp = 3,674
Margines błędu
E = 2,131·3,674·√(1/6 + 1/11) = 3,974
Odpowiedź
E = 3,974 kg
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −1,44
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556
Statystyka testowa
t = (199,2 − 200)/0,5556 = −1,44
Odpowiedź
t = −1,44
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 63
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = ((2,326 + 0,842)·10/4)² = 62,73
Zaokrąglij w górę
n = 63
Odpowiedź
n = 63
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9466
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 217/6 = 36,17
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 210,8
Współczynnik korelacji
r = 57,5/√(17,5·210,8) = 0,9466
Odpowiedź
r = 0,9466
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 19,49
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 535/5 = 107
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 459
Prosta regresji
b = 459/90 = 5,1
a = 107 − 5,1·24 = −15,4
ŷ = −15,4 + 5,1·x
Wyznacz x
x = (84 − (−15,4))/5,1 = 19,49
Odpowiedź
x = 19,49
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.