Inwestujesz €10 000 przy stopie 5 % rocznie z kapitalizacją ciągłą. Wyznacz wartość FV po 12 latach.
PV = €10 000r = 5%t = 12
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €10 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 4 lat przy 2,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?
P = €10 0002,4% / 12N = 48
I = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €60 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €25 000, €19 000, €25 000, €23 000. Koszt kapitału wynosi 9 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €18 000, €17 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −25 000CF1 = 18 000CF2 = 17 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 8 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 4%YTM = 5%n = 8
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 3% zostanie wykupiona po 3 latach, a jej cena wynosi €945. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 3%n = 3P = €945
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma kapitał własny o wartości €8 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej WACC wynosi 6,68%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stawka podatku 21%. Wyznacz koszt kapitału własnego re.
Spółka ma 2 000 000 akcji po €22,50 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €1 020 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4,5%, a stopa podatkowa 25,8%. Współczynnik beta akcji to 1,8, stopa wolna od ryzyka 3%, a stopa zwrotu z rynku 10%. Wyznacz WACC.
β = 1,8rf = 3%rm = 10%rd = 4,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 37, 43, 58, 57, 53, 17.
n = 6
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 20. Wyznacz wynik z z dla wyniku 70.
μ = 100σ = 20x = 70
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 3 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 3
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 11 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,3, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 1 poprawnych odpowiedzi?
n = 11p = 0,3k = 1
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
X ma rozkład normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 4 g; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 500 g i odchyleniem standardowym 9 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 754,9 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 754,9 g
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,02 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
otwór: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 13 elementów ma średnią 101,5 i odchylenie standardowe s = 4. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 13x̄ = 101,5s = 490%t(12) = 1,782
dolna granica =
16.Przedziały ufnościTrudny
Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,8 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 95 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,04?
p ≈ 0,8E = 0,0495%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 36 studentów ma średni wynik 76,13 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 76,13s = 4n = 36
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 25 pomiarów ma średnią 72,3. Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 99 % dla średniej.
x̄ = 72,3σ = 15n = 2599%
U =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 6
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 9.
n = 5x = 9
ŷ =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 18221 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wykładnik
r·t = 0,05·12 = 0,6
e0,6 = 1,822
Wartość przyszła
FV = 10 000·1,822 = €18 221,19
Odpowiedź
FV = €18 221,19
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: I = 497,7 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Rata miesięczna
i = 0,002, N = 48
A = 10 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−48) = €218,70
Łączne odsetki
I = N·A − P = 48·218,7 − 10 000 = €497,67
Odpowiedź
I = €497,67
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 14526 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 25 000/1,09 = 22 935,78
CF2/(1 + 0,09)2 = 19 000/1,188 = 15 991,92
CF3/(1 + 0,09)3 = 25 000/1,295 = 19 304,59
CF4/(1 + 0,09)4 = 23 000/1,412 = 16 293,78
Zsumuj
NPV = €14 526,07
Odpowiedź
NPV = €14 526,07
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 25,98 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(25%) = 280,00
NPV(30%) = −1 094,67
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €20,00, i = 0,025, N = 16
Wartość bieżąca kuponów
€20,00·(1 − 0,6736)/0,025 = €261,10
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,6736 = €673,62
Cena
P = €934,72
Odpowiedź
P = €934,72
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 5,02 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€945 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Rozwiąż numerycznie
P(5%) = €945,54, P(6%) = €919,81
YTM = 5,02%
Odpowiedź
YTM = 5,02%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 8 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €11 000 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727
Część dłużna WACC
0,2727·4%·(1 − 0,21) = 0,8618%
Koszt kapitału własnego
re = (6,68% − 0,8618%)/0,7273 = 8%
Odpowiedź
re = 8%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 11,78 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (70 − 100)/20 = −1,5
Odpowiedź
z = −1,5
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,4213
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Odpowiedź
P = 0,4213
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,09322
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standaryzuj
z = (754,9 − 750)/9,849 = 0,5
Górny ogon
P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085
Odpowiedź
P = 0,3085
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,7881
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm
Standaryzuj
z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Odpowiedź
P = 0,7881
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 99,52
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 12, t = 1,782
Margines błędu
E = 1,782·4/√13 = 1,977
Przedział
101,5 ± 1,977 → [99,52, 103,5]
Odpowiedź
dolna granica = 99,52
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 385
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Wyznacz n
n = 1,96²·0,8·0,2/0,04² = 384,2
Zaokrąglij w górę
n = 385
Odpowiedź
n = 385
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 1,695
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667
Statystyka testowa
t = (76,13 − 75)/0,6667 = 1,695
Odpowiedź
t = 1,695
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 80,03
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 2,576·15/√25 = 7,728
Granica przedziału
U = 72,3 + 7,728 = 80,03
Odpowiedź
U = 80,03
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9924
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 398/6 = 66,33
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 314
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1419
Współczynnik determinacji
r² = 314²/(70·1419) = 0,9924
Odpowiedź
r² = 0,9924
Około 99,24% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 13,7
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 46/5 = 9,2
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60
Prosta regresji
b = 60/40 = 1,5
a = 9,2 − 1,5·6 = 0,2
ŷ = 0,2 + 1,5·x
Prognoza
ŷ = 0,2 + 1,5·9 = 13,7
Odpowiedź
ŷ = 13,7
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.