Inwestujesz €8 000 przy nominalnej stopie 3 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 4 latach.
PV = €8 0003% / 4n = 4
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €250 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 20 lat. Oprocentowanie wynosi 4,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €250 0004,2% / 12N = 240
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €8 000, €6 000, €5 000, €8 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje dziś €50 000. Jego przepływ wynosi €5 000 na koniec roku 1 i rośnie o 3 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 9. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €50 000CF1 = €5 000g = 3%n = 9r = 12%
NPV = €
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 8 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 4%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 5,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 7%n = 8y0 = 4%y1 = 5,5%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja z 16 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 9%) kosztuje €1 244. Emitent może ją wykupić przed terminem za 5 lat po cenie wykupu €1 090. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.
F = €1 000kupon = 9%P = €1 244cena wcześniejszego wykupu = €1 090wcześniejszy wykup za 5 lata
YTC = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €12 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 4,5%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.
Akcje firmy mają betę 1,3 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,4. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 1,25. Stawka podatku wynosi 20%, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a rynkowa premia za ryzyko 5,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego re po zmianie.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 54, 29, 35, 38, 33, 21, 26.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 12. Jaka część P wartości leży poniżej 74,8?
μ = 70σ = 12x = 74,8
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 5
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 9 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,3, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 2 poprawnych odpowiedzi?
n = 9p = 0,3k = 2
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,9641. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,9641
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 25% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 100 pktσ = 15 pkt25%
x = pkt
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 13 elementów ma średnią 15,5 i odchylenie standardowe s = 15. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 13x̄ = 15,5s = 1595%t(12) = 2,179
E =
16.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 11 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 5,5 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 10 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 3,247, a 2,5 % powyżej 20,483.
n = 11s = 5,5 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 50; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 5. Losowa próba 100 obserwacji ma średnią 49,28. Przetestuj H₀: μ = 50 przeciw H₁: μ < 50. Wyznacz wartość p p.
μ₀ = 50σ = 5n = 100x̄ = 49,28H₁: μ < μ₀
p =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 64 pomiarów ma średnią 73,5. Odchylenie standardowe populacji wynosi 4. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 73,5σ = 4n = 6490%
U =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 6
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 128?
n = 6ŷ = 128
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 9016 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·20 = 240
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,4323
A = 250 000·0,0035/(1 − 0,4323) = €1 541,43
Odpowiedź
A = €1 541,43
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 569,1 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 8 000/1,12 = 7 142,86
CF2/(1 + 0,12)2 = 6 000/1,254 = 4 783,16
CF3/(1 + 0,12)3 = 5 000/1,405 = 3 558,90
CF4/(1 + 0,12)4 = 8 000/1,574 = 5 084,14
Zsumuj
NPV = €569,07
Odpowiedź
NPV = €569,07
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −20584 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca renty rosnącej
((1,03)/(1,12))9 = 0,4705
PV = 5 000/(0,12 − 0,03)·(1 − 0,4705) = 29 415,87
NPV
NPV = 29 415,87 − 50 000 = −€20 584,13
Odpowiedź
NPV = −€20 584,13
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: HPR = −3,888 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
1244 = 90·(1 − (1 + y)−5)/y + 1090/(1 + y)5
Rozwiąż numerycznie
y = 4%: €1 296,56
y = 5%: €1 243,70
YTC = 4,994%
Odpowiedź
YTC = 4,994%
Rentowność do wykupu wynosi 6,502%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 11,88 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €15 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·14% + 0,2·4,5%·(1 − 0,25) = 11,88%
Odpowiedź
WACC = 11,88%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 14,33 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Usuń dźwignię z bety
βU = 1,3/(1 + 0,8·0,4) = 0,9848
Zlewaruj ponownie przy nowym D/E
βL = 0,9848·(1 + 0,8·1,25) = 1,97
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 3,5% + 1,97·5,5% = 14,33%
Odpowiedź
re = 14,33%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 10,61
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 0,4
Tablica rozkładu normalnego
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Odpowiedź
P = 0,6554
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,5981
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Odpowiedź
P = 0,5981
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,2668
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = 1 − 0,9641 = 0,0359
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,0359 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = −1,80
Odpowiedź
z = −1,80
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 110,1 pkt
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,75
z z tablicy
z ≈ 0,67
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 100 + 0,67·15 = 110,1 pkt
Odpowiedź
x = 110,1 pkt
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 9,065
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Margines błędu
E = 2,179·15/√13 = 9,065
Odpowiedź
E = 9,065
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 9,652 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 10·5,5² = 302,5
Granice dla σ²
302,5/20,483 = 14,77
302,5/3,247 = 93,16
Granica dla σ
σ = √93,16 = 9,652 µm
Odpowiedź
σ = 9,652 µm
Przedział 95 % dla σ: [3,843, 9,652] µm.
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: p = 0,07493
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statystyka testowa
SE = σ/√n = 5/√100 = 0,5
z = (49,28 − 50)/0,5 = −1,44
Pole ogona
Φ(1,44) = 0,9251
1 − Φ(1,44) = 0,0749
Wartość p
p = 0,07493
Odpowiedź
p = 0,07493
p > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 %.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 74,32
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,645·4/√64 = 0,8225
Granica przedziału
U = 73,5 + 0,8225 = 74,32
Odpowiedź
U = 74,32
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9862
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 467/6 = 77,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 413
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2471
Współczynnik determinacji
r² = 413²/(70·2471) = 0,9862
Odpowiedź
r² = 0,9862
Około 98,62% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 25,66
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 763/6 = 127,2
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 823,5
Prosta regresji
b = 823,5/157,5 = 5,229
a = 127,2 − 5,229·25,5 = −6,162
ŷ = −6,162 + 5,229·x
Wyznacz x
x = (128 − (−6,162))/5,229 = 25,66
Odpowiedź
x = 25,66
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.