Renta wypłaca €2 000 na koniec każdego roku przez 10 lat. Stopa procentowa wynosi 10 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.
A = €2 000i = 10%n = 10
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €15 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 4 lat przy 3 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?
P = €15 0003% / 12N = 48
I = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €60 000 i przynosi €20 000 na koniec każdego roku przez 4 lat. Koszt kapitału wynosi 6 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Inwestycja €80 000 przynosi €28 000 na koniec każdego roku przez 4 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
C0 = €80 000CF = €28 000n = 4
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 9 latach. Rentowność do wykupu wynosi 6% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 2%YTM = 6%n = 9
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 10 lat. Kosztuje €1 308. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.
F = €1 000kupon = 6% (2×)n = 10P = €1 308
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 1,5. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stawka podatku 28%. Wyznacz WACC.
D/E = 1,5re = 13%rd = 6%T = 28%
WACC = %
8.CAPM i WACCTrudny
Spółka ma 5 000 000 akcji po €57,50 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €1 020 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 5%, a stopa podatkowa 21%. Współczynnik beta akcji to 1,5, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a stopa zwrotu z rynku 10,5%. Wyznacz WACC.
β = 1,5rf = 3,5%rm = 10,5%rd = 5%T = 21%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 33, 27, 27, 39, 15, 47, 41.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 12. Wyznacz wynik z z dla wyniku 88.
μ = 100σ = 12x = 88
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 8 kul czerwonych i 9 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
8 / 9
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 6 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,3, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?
n = 6p = 0,3k = 3
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 50,5 a 73 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 65σ = 10x1 = 50,5x2 = 73
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Wzrost X mężczyzn i wzrost Y kobiet w grupie są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 180 cm i odchylenie standardowe 10 cm, Y ma średnią 170 cm i odchylenie standardowe 12 cm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 30 telefonów, średnia 90,5 h, znane odchylenie standardowe 4 h. Model 2: 30 telefonów, średnia 105 h, znane odchylenie standardowe 4 h. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
Odchylenie standardowe populacji wynosi 17. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?
σ = 17E = 299%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 36 studentów ma średni wynik 77,83 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 77,83s = 10n = 36
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5? Odchylenie standardowe wynosi 4. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 4E = 0,590%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 5
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 36?
n = 6ŷ = 36
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 12289 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3855)/0,1 = 6,145
Wartość bieżąca
PV = 2 000·6,145 = €12 289,13
Odpowiedź
PV = €12 289,13
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: I = 936,7 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Rata miesięczna
i = 0,0025, N = 48
A = 15 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−48) = €332,01
Łączne odsetki
I = N·A − P = 48·332 − 15 000 = €936,72
Odpowiedź
I = €936,72
3.NPV i IRR
Odpowiedź: DPB = 3,413 lata
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 20 000/1,06 = 18 867,92 → Σ = 18 867,92
rok 2: 20 000/1,124 = 17 799,93 → Σ = 36 667,85
rok 3: 20 000/1,191 = 16 792,39 → Σ = 53 460,24
rok 4: 20 000/1,262 = 15 841,87 → Σ = 69 302,11
Ułamek ostatniego roku
DPB = 3 + 6 539,76/15 841,87 = 3,413
Odpowiedź
DPB = 3,413 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3 lat).
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 14,96 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wymagany współczynnik renty
(1 − (1 + i)−4)/i = 80 000/28 000 = 2,857
Wyznacz stopę
Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.
i = 14%: 2,914
i = 15%: 2,855
IRR = 14,96%
Odpowiedź
IRR = 14,96%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 724,9 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €10,00, i = 0,03, N = 18
Wartość bieżąca kuponów
€10,00·(1 − 0,5874)/0,03 = €137,54
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,5874 = €587,39
Cena
P = €724,93
Odpowiedź
P = €724,93
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 2,5 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €30,00, N = 20
Rozwiąż numerycznie
i = 1,25% na półrocze
YTM
YTM = 2·1,25% = 2,5%
Odpowiedź
YTM = 2,5%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,792 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi z D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·13% + 0,6·6%·(1 − 0,28) = 7,792%
Odpowiedź
WACC = 7,792%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 13,66 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (88 − 100)/12 = −1
Odpowiedź
z = −1
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,2059
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 8/17 · 7/16 = 56/272 = 0,2059
Odpowiedź
P = 0,2059
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,1852
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 3) = 20·0,33·0,73 = 20·0,027·0,343 = 0,1852
Odpowiedź
P = 0,1852
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,7146
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (50,5 − 65)/10 = −1,45
z₂ = (73 − 65)/10 = 0,8
Pole pomiędzy
P = Φ(0,8) − Φ(−1,45) = 0,7881 − 0,07353 = 0,7146
Odpowiedź
P = 0,7146
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,7389
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standaryzuj
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Odpowiedź
P = 0,7389
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = −11,84 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 90,5 − 105 = −14,5
Błąd standardowy
SE = √(4²/30 + 4²/30) = 1,033
Margines błędu
E = 2,576·1,033 = 2,66
Przedział
−14,5 ± 2,66 → [−17,16, −11,84]
Odpowiedź
górna granica = −11,84 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 480
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (2,576·17/2)² = 479,4
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 480
Odpowiedź
n = 480
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 1,698
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
Statystyka testowa
t = (77,83 − 75)/1,667 = 1,698
Odpowiedź
t = 1,698
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 174
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (1,645·4/0,5)² = 173,2
Zaokrąglij w górę
n = 174
Odpowiedź
n = 174
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9412
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 112/5 = 22,4
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16
Syy = Σ(y − ȳ)² = 27,2
Współczynnik determinacji
r² = −16²/(10·27,2) = 0,9412
Odpowiedź
r² = 0,9412
Około 94,12% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 3,048
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 342/6 = 57
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 372
Prosta regresji
b = 372/70 = 5,314
a = 57 − 5,314·7 = 19,8
ŷ = 19,8 + 5,314·x
Wyznacz x
x = (36 − 19,8)/5,314 = 3,048
Odpowiedź
x = 3,048
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.