Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 17,5 % rocznie z kapitalizacją dziennie. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.
r = 17,5%m = 365
EAR = %
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Za 20 lat chcesz mieć €100 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 5,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.
FV = €100 0005,4% / 12N = 240
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €6 000, €7 000, €9 000. Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €17 000, €10 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 10 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 7 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 6%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 6,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 7%n = 7y0 = 6%y1 = 6,5%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 3 latach, a jej cena wynosi €1 040. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 8%n = 3P = €1 040
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Akcja o becie 1,25 ma wymaganą stopę zwrotu 10,63%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 2,5%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku rm implikuje CAPM?
β = 1,25re = 10,63%rf = 2,5%
rm = %
8.CAPM i WACCTrudny
Spółka ma 2 500 000 akcji po €15,50 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €980 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3%, a stopa podatkowa 21%. Współczynnik beta akcji to 0,9, stopa wolna od ryzyka 2,5%, a stopa zwrotu z rynku 8,5%. Wyznacz WACC.
β = 0,9rf = 2,5%rm = 8,5%rd = 3%T = 21%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 41, 20, 21, 14, 40, 53.
n = 6
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży powyżej 40?
μ = 60σ = 20x = 40
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 4 kul czerwonych i 9 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
4 / 9
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 8 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,3. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 8p = 0,3
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,9236. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,9236
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,05 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
otwór: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Przedziały ufnościŚredni
Przedział ufności 95 % dla średniej, oparty na 50 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 2. Jaki będzie margines błędu E₂, jeśli to samo badanie obejmie 200 obserwacji?
95%n₁ = 50E₁ = 2n₂ = 200
E₂ =
16.Przedziały ufnościTrudny
Z góry nic nie wiadomo o frakcji wadliwych produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 90 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,02?
p = 0,5E = 0,0290%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 25 studentów ma średni wynik 79,8 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 79,8s = 10n = 25
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3? Odchylenie standardowe wynosi 8. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 8E = 399%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (27,5, 119). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 5(27,5, 119)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: EAR = 19,12 %
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa na okres
r/m = 0,175/365 = 0,0004795
Kapitalizacja w ciągu roku
EAR = (1 + 0,0004795)365 − 1 = 1,191 − 1 = 19,12%
Odpowiedź
EAR = 19,12%
Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 232,3 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 6 000/1,05 = 5 714,29
CF2/(1 + 0,05)2 = 7 000/1,103 = 6 349,21
CF3/(1 + 0,05)3 = 9 000/1,158 = 7 774,54
Zsumuj
NPV = €−161,97
Odpowiedź
NPV = €−161,97
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 5,805 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(5%) = 260,77
NPV(10%) = −1 280,99
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 040 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Rozwiąż numerycznie
P(6%) = €1 053,46, P(7%) = €1 026,24
YTM = 6,49%
Odpowiedź
YTM = 6,49%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: rm = 9,004 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Rynkowa premia za ryzyko
rm − rf = (10,63% − 2,5%)/1,25 = 6,504%
Stopa zwrotu z rynku
rm = 2,5% + 6,504% = 9,004%
Odpowiedź
rm = 9,004%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,279 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Odpowiedź
P = 0,8413
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,07692
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0,07692
Odpowiedź
P = 0,07692
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,2553
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,78 = 0,05765
P(X = 1) = 8·0,3·0,77 = 0,1977
Dodaj
P = 0,05765 + 0,1977 = 0,2553
Odpowiedź
P = 0,2553
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = −1,43
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = 1 − 0,9236 = 0,0764
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,0764 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = −1,43
Odpowiedź
z = −1,43
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,9772
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm
Standaryzuj
z = (0 − 0,05)/0,025 = −2
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−2) = 0,9772
Odpowiedź
P = 0,9772
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E₂ = 1
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Stosunek marginesów
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/200) = 0,5
Nowy margines
E₂ = 2·0,5 = 1
Odpowiedź
E₂ = 1
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 1692
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Wyznacz n
n = 1,645²·0,5·0,5/0,02² = 1691
Zaokrąglij w górę
n = 1692
Odpowiedź
n = 1692
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,4
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 10/√25 = 10/5 = 2
Statystyka testowa
t = (79,8 − 75)/2 = 2,4
Odpowiedź
t = 2,4
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 48
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (2,576·8/3)² = 47,19
Zaokrąglij w górę
n = 48
Odpowiedź
n = 48
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,9747
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 130/5 = 26
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
Syy = Σ(y − ȳ)² = 38
Współczynnik korelacji
r = −19/√(10·38) = −0,9747
Odpowiedź
r = −0,9747
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = −1,7
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 494/5 = 98,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 438
Prosta regresji
b = 438/90 = 4,867
a = 98,8 − 4,867·23 = −13,13
ŷ = −13,13 + 4,867·x
Wartość przewidywana
ŷ = −13,13 + 4,867·27,5 = 120,7
Reszta
e = 119 − 120,7 = −1,7
Odpowiedź
e = −1,7
Punkt leży pod prostą.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.