Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 22 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.
r = 22%m = 12
EAR = %
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €20 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 5 lat. Oprocentowanie wynosi 5,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €20 0005,4% / 12N = 60
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €60 000 i przynosi €22 000 na koniec każdego roku przez 5 lat. Koszt kapitału wynosi 8 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €34 000, €28 500, €23 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −50 000CF1 = 34 000CF2 = 28 500CF3 = 23 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 4 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 2%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 6%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 6,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 2%n = 4y0 = 6%y1 = 6,5%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja jest notowana po €1 100 przy rentowności do wykupu 4% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 4,2 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność wzrośnie o 50 punktów bazowych.
P0 = €1 100y = 4%D = 4,2Δy = +50 bp
P = €
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 8%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.
E = €4 000 000D = €5 000 000re = 8%rd = 3%T = 20%
WACC = %
8.CAPM i WACCTrudny
Akcje firmy mają betę 1,1 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,4. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 0,75. Stawka podatku wynosi 21%, stopa wolna od ryzyka 3%, a rynkowa premia za ryzyko 6%. Wyznacz koszt kapitału własnego re po zmianie.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 18, 24, 59, 48, 15, 47.
n = 6
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 12. Wyznacz wynik z z dla wyniku 85,6.
μ = 100σ = 12x = 85,6
z =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,3, 0,15, 0,3
Var(X) =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 7 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 7p = 0,5
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Jaka część wartości leży między 250 a 259 g? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 250σ = 5x1 = 250x2 = 259
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 75% wszystkich wartości (75. percentyl).
μ = 250σ = 5P = 75%
x = g
15.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 80 telefonów, średnia 134 h, znane odchylenie standardowe 10 h. Model 2: 50 telefonów, średnia 127,5 h, znane odchylenie standardowe 5 h. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 60 części ma średnią długość 141,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 13 mm. Linia 2: próba 40 części ma średnią 136 mm, znane odchylenie standardowe 19 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 95 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2? Odchylenie standardowe wynosi 10. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 10E = 295%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6Σx = 21Σy = 119Σx² = 91Σy² = 2469Σxy = 374
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 37?
n = 5ŷ = 37
x =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: EAR = 24,36 %
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa na okres
r/m = 0,22/12 = 0,01833
Kapitalizacja w ciągu roku
EAR = (1 + 0,01833)12 − 1 = 1,244 − 1 = 24,36%
Odpowiedź
EAR = 24,36%
Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 381,1 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·5 = 60
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,7638
A = 20 000·0,0045/(1 − 0,7638) = €381,10
Odpowiedź
A = €381,10
3.NPV i IRR
Odpowiedź: DPB = 3,204 lata
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 22 000/1,08 = 20 370,37 → Σ = 20 370,37
rok 2: 22 000/1,166 = 18 861,45 → Σ = 39 231,82
rok 3: 22 000/1,26 = 17 464,31 → Σ = 56 696,13
rok 4: 22 000/1,36 = 16 170,66 → Σ = 72 866,79
Ułamek ostatniego roku
DPB = 3 + 3 303,87/16 170,66 = 3,204
Odpowiedź
DPB = 3,204 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (2,727 lat).
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 35,27 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(35%) = 171,21
NPV(40%) = −2 791,55
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Zmodyfikowana duration
Dmod = 4,2/1,04 = 4,038
Szacowana zmiana ceny
%ΔP ≈ −4,038·(0,005) = −2,019%
P ≈ 1100·(1 − 0,02019) = €1 077,79
Odpowiedź
P = €1 077,79
Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 4,889 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556
WACC
WACC = 0,4444·8% + 0,5556·3%·(1 − 0,2) = 4,889%
Odpowiedź
WACC = 4,889%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 10,99 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Usuń dźwignię z bety
βU = 1,1/(1 + 0,79·0,4) = 0,8359
Zlewaruj ponownie przy nowym D/E
βL = 0,8359·(1 + 0,79·0,75) = 1,331
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 3% + 1,331·6% = 10,99%
Odpowiedź
re = 10,99%
9.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 18,43
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (85,6 − 100)/12 = −1,2
Odpowiedź
z = −1,2
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: Var(X) = 1,35
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Średnia
μ = 0·0,25 + 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,3 = 1,5
Średnia kwadratów
E(X²) = 0·0,25 + 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,3 = 3,6
Wariancja
Var(X) = 3,6 − 1,5² = 1,35
Odpowiedź
Var(X) = 1,35
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,0625
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,57 = 0,007813
P(X = 1) = 7·0,5·0,56 = 0,05469
Dodaj
P = 0,007813 + 0,05469 = 0,0625
Odpowiedź
P = 0,0625
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,4641
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (250 − 250)/5 = 0
z₂ = (259 − 250)/5 = 1,8
Pole pomiędzy
P = Φ(1,8) − Φ(0) = 0,9641 − 0,5 = 0,4641
Odpowiedź
P = 0,4641
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 253,4 g
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Powrót do x
x = 250 + 0,6745·5 = 253,37 g
Odpowiedź
x = 253,37 g
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 3,092 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 134 − 127,5 = 6,5
Błąd standardowy
SE = √(10²/80 + 5²/50) = 1,323
Margines błędu
E = 2,576·1,323 = 3,408
Przedział
6,5 ± 3,408 → [3,092, 9,908]
Odpowiedź
dolna granica = 3,092 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 8,412 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (5·1² + 10·9,5²)/15 = 60,5
sp = 7,778
Margines błędu
E = 2,131·7,778·√(1/6 + 1/11) = 8,412
Odpowiedź
E = 8,412 kg
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 1,598
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Błąd standardowy różnicy
SE = √(13²/60 + 19²/40) = √11,84 = 3,441
Statystyka testowa
z = (141,5 − 136)/3,441 = 1,598
Odpowiedź
z = 1,598
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 97
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (1,96·10/2)² = 96,04
Zaokrąglij w górę
n = 97
Odpowiedź
n = 97
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,9738
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 374 − 21·119/6 = −42,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2469 − 119²/6 = 108,8
Współczynnik korelacji
r = −42,5/√(17,5·108,8) = −0,9738
Odpowiedź
r = −0,9738
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 8,95
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 126/5 = 25,2
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160
Prosta regresji
b = 160/40 = 4
a = 25,2 − 4·6 = 1,2
ŷ = 1,2 + 4·x
Wyznacz x
x = (37 − 1,2)/4 = 8,95
Odpowiedź
x = 8,95
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.