Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 10 lat potrzebujesz €50 000. Konto daje 3,6 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €50 0003,6% / 4n = 10

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €10 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 6 lat przy 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?

P = €10 0004,8% / 12N = 72

I = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €30 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €7 000, €14 000, €13 000. Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 7 000CF₂ = 14 000CF₃ = 13 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €21 500, €22 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −40 000CF₁ = 21 500CF₂ = 22 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 10 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €789, gdy rentowność do wykupu wynosi 7%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 10P = €789YTM = 7%

c = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 7 latach, a jej cena wynosi €1 085. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 7%n = 7P = €1 085

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €6 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 8%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 30%. Wyznacz WACC.

E = €6 000 000D = €2 000 000r_e = 8%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €6 000 000 i koszcie 10%. Jej dług stanowi 2 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 5%, 11 lat do wykupu), notowanych po €1 088 za sztukę. Stawka podatku wynosi 20%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €6 000 000r_e = 10%obligacje: 2 000 × €1 088kupon = 5%n = 11T = 20%

WACC = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 49, 10, 59, 49, 21, 48.

n = 6

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 12. Jaka część P wartości leży powyżej 72?

μ = 60σ = 12x = 72

P =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 8 kul czerwonych i 7 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

8 / 7

P =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 8 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 8p = 0,1

P =

13.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 4 g; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 500 g i odchyleniem standardowym 9 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 769,7 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 769,7 g

P =

14.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 85% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 178 cmσ = 7 cm85%

x = cm

15.Przedziały ufnościŚredni

Próba 10 elementów ma średnią 13 i odchylenie standardowe s = 16,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 10x̄ = 13s = 16,595%t(9) = 2,262

górna granica =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 32. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3?

σ = 32E = 395%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 25 studentów ma średni wynik 48,56 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,56s = 4n = 25

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 100 przeciw H₁: μ > 100 przeprowadza się na poziomie α = 0,05 na próbie o liczebności 64; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 16. W rzeczywistości średnia wynosi 107. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.

μ₀ = 100μ = 107σ = 16n = 64α = 0,05

β = %

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 21Σy = 122Σx² = 91Σy² = 2558Σxy = 391

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (5, 5). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(5, 5)

e =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 34940 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = 4·10 = 40

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,431 = €34 940,04

Odpowiedź

PV = €34 940,04

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: I = 1529 €

Rata miesięczna

i = 0,004, N = 72

A = 10 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻⁷²) = €160,12

Łączne odsetki

I = N·A − P = 72·160,1 − 10 000 = €1 528,87

Odpowiedź

I = €1 528,87

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −21,23 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 7 000/1,06 = 6 603,77

CF₂/(1 + 0,06)² = 14 000/1,124 = 12 459,95

CF₃/(1 + 0,06)³ = 13 000/1,191 = 10 915,05

Zsumuj

NPV = €−21,23

Odpowiedź

NPV = €−21,23

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 5,756 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(5%) = 430,84

NPV(10%) = −2 272,73

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 5 + 5·430,84/(430,84 − (−2 272,73)) = 5,797%

dokładnie: NPV(5,756%) = 0 → IRR = 5,756%

Odpowiedź

IRR = 5,756%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 3,996 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,07)⁻¹⁰ = €508,35

Kupon

C = (789 − 508,35)/7,024 = €39,96

Oprocentowanie kuponu

c = 39,96/1000 = 3,996%

Odpowiedź

c = 3,996%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 5,504 %

Równanie dla rentowności

€1 085 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Rozwiąż numerycznie

P(5%) = €1 115,73, P(6%) = €1 055,82

YTM = 5,504%

Odpowiedź

YTM = 5,504%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,875 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·8% + 0,25·5%·(1 − 0,3) = 6,875%

Odpowiedź

WACC = 6,875%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,189 %

Koszt długu (YTM)

1088 = 50·(1 − (1 + y)⁻¹¹)/y + 1000/(1 + y)¹¹

y = 3,996%

Wartości rynkowe

D = 2 000·€1 088 = €2 176 000

V = €8 176 000, E/V = 0,7339, D/V = 0,2661

WACC

WACC = 0,7339·10% + 0,2661·3,996%·(1 − 0,2) = 8,189%

Odpowiedź

WACC = 8,189%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 19,21

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 236/6 = 39,33

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 9,667² + (−29,33)² + 19,67² + 9,667² + (−18,33)² + 8,667² = 1845

Odchylenie standardowe

s = √(1845/5) = 19,21

Odpowiedź

s = 19,21

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,1587

Standaryzuj

z = 1

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Odpowiedź

P = 0,1587

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2667

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 8/15 · 7/14 = 56/210 = 0,2667

Odpowiedź

P = 0,2667

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,8131

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,9⁸ = 0,4305

P(X = 1) = 8·0,1·0,9⁷ = 0,3826

Dodaj

P = 0,4305 + 0,3826 = 0,8131

Odpowiedź

P = 0,8131

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,02275

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standaryzuj

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Górny ogon

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Odpowiedź

P = 0,02275

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 185,3 cm

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,85

z z tablicy

z ≈ 1,04

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 178 + 1,04·7 = 185,3 cm

Odpowiedź

x = 185,3 cm

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 24,8

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Margines błędu

E = 2,262·16,5/√10 = 11,8

Przedział

13 ± 11,8 → [1,197, 24,8]

Odpowiedź

górna granica = 24,8

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 438

Wyznacz n

n = (1,96·32/3)² = 437,1

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 438

Odpowiedź

n = 438

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,8

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Statystyka testowa

t = (48,56 − 50)/0,8 = −1,8

Odpowiedź

t = −1,8

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: β = 3,18 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 16/√64 = 2

x̄_c = 100 + 1,645·2 = 103,3

z przy prawdziwej średniej

z = (103,3 − 107)/2 = −1,855

Błąd II rodzaju

moc = P(Z > −1,855) = 96,82%

β = 100% − 96,82% = 3,18%

Odpowiedź

β = 3,18%

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,9786

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 391 − 21·122/6 = −36

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2558 − 122²/6 = 77,33

Współczynnik korelacji

r = −36/√(17,5·77,33) = −0,9786

Odpowiedź

r = −0,9786

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −3,7

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 53/5 = 10,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76

Prosta regresji

b = 76/40 = 1,9

a = 10,6 − 1,9·6 = −0,8

ŷ = −0,8 + 1,9·x

Wartość przewidywana

ŷ = −0,8 + 1,9·5 = 8,7

Reszta

e = 5 − 8,7 = −3,7

Odpowiedź

e = −3,7

Punkt leży pod prostą.

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income