Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €8 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 2,5 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 8,5 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €8 000g = 2,5%r = 8,5%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Odkładasz €200 na koniec każdego miesiąca przez 10 lat. Konto daje 6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.
A = €2006% / 12N = 120
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €20 000 i przynosi €5 000, €9 000, €6 500, €5 500, €4 500, €8 000 na koniec lat od 1 do 6. Koszt kapitału wynosi 10 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €17 000, €11 000, €12 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 11 000CF3 = 12 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 9 latach. Rentowność do wykupu wynosi 7% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 3%YTM = 7%n = 9
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja z 16 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%) kosztuje €1 157. Emitent może ją wykupić przed terminem za 6 lat po cenie wykupu €1 070. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.
F = €1 000kupon = 7%P = €1 157cena wcześniejszego wykupu = €1 070wcześniejszy wykup za 6 lata
YTC = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej WACC wynosi 7,37%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stawka podatku 30%. Wyznacz koszt kapitału własnego re.
Spółka ma 1 000 000 akcji po €56,50 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4%, a stopa podatkowa 21%. Współczynnik beta akcji to 1,8, stopa wolna od ryzyka 4%, a stopa zwrotu z rynku 8,5%. Wyznacz WACC.
β = 1,8rf = 4%rm = 8,5%rd = 4%T = 21%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 39, 52, 11, 48, 44, 25, 25.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 100. Jaka część P wartości leży poniżej 625?
μ = 500σ = 100x = 625
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,1, 0,25, 0,05, 0,35
Var(X) =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Gra kosztuje €3. Wygrywasz €9 z prawdopodobieństwem 0,2 i €30 z prawdopodobieństwem 0,02; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.
stawka = €3€9: p = 0,2€30: p = 0,02
E(G) = €
13.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Jaka część wartości leży między 242,5 a 255,25 g? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 250σ = 5x1 = 242,5x2 = 255,25
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Masa X produktu z linii 1 i masa Y produktu z linii 2 są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 500 g i odchylenie standardowe 8 g, Y ma średnią 490 g i odchylenie standardowe 6 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 11 elementów ma średnią 30,5 i odchylenie standardowe s = 4,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 11x̄ = 30,5s = 4,590%t(10) = 1,812
E =
16.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 20 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 8 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 19 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 8,907, a 2,5 % powyżej 32,852.
n = 20s = 8 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 14 uczniów, średni wynik 34, odchylenie standardowe 3,5. Grupa 2: 8 uczniów, średni wynik 24,9, odchylenie standardowe 10,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).
n₁ = 14x̄₁ = 34s₁ = 3,5n₂ = 8x̄₂ = 24,9s₂ = 10,5
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5? Odchylenie standardowe wynosi 5. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 5E = 0,599%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5
r =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (3, 5). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 5(3, 5)
e =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 133333 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 5 000/1,1 = 4 545,45 → Σ = 4 545,45
rok 2: 9 000/1,21 = 7 438,02 → Σ = 11 983,47
rok 3: 6 500/1,331 = 4 883,55 → Σ = 16 867,02
rok 4: 5 500/1,464 = 3 756,57 → Σ = 20 623,59
Ułamek ostatniego roku
DPB = 3 + 3 132,98/3 756,57 = 3,834
Odpowiedź
DPB = 3,834 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (2,923 lat).
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 30,15 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(30%) = 47,79
NPV(35%) = −1 494,44
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
IRR ≈ 30 + 5·47,79/(47,79 − (−1 494,44)) = 30,15%
dokładnie: NPV(30,15%) = 0 → IRR = 30,15%
Odpowiedź
IRR = 30,15%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 736,2 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €15,00, i = 0,035, N = 18
Wartość bieżąca kuponów
€15,00·(1 − 0,5384)/0,035 = €197,85
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,5384 = €538,36
Cena
P = €736,21
Odpowiedź
P = €736,21
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTC = 4,943 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
1157 = 70·(1 − (1 + y)−6)/y + 1070/(1 + y)6
Rozwiąż numerycznie
y = 4%: €1 212,59
y = 5%: €1 153,75
YTC = 4,943%
Odpowiedź
YTC = 4,943%
Rentowność do wykupu wynosi 5,499%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 8,004 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
Część dłużna WACC
0,1667·6%·(1 − 0,3) = 0,7%
Koszt kapitału własnego
re = (7,37% − 0,7%)/0,8333 = 8,004%
Odpowiedź
re = 8,004%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 9,763 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 1,25
Tablica rozkładu normalnego
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Odpowiedź
P = 0,8944
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: Var(X) = 2,527
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Wyniki netto
G: 6 (p = 0,2), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,78)
Wartość oczekiwana
E(G) = 6·0,2 + 27·0,02 − 3·0,78 = −0,6 €
Odpowiedź
E(G) = −0,6 €
Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,7863
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (242,5 − 250)/5 = −1,5
z₂ = (255,25 − 250)/5 = 1,05
Pole pomiędzy
P = Φ(1,05) − Φ(−1,5) = 0,8531 − 0,06681 = 0,7863
Odpowiedź
P = 0,7863
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,8413
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standaryzuj
z = (0 − 10)/10 = −1
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Odpowiedź
P = 0,8413
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 2,459
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 10, t = 1,812
Margines błędu
E = 1,812·4,5/√11 = 2,459
Odpowiedź
E = 2,459
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 6,084 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 19·8² = 1216
Granice dla σ²
1216/32,852 = 37,01
1216/8,907 = 136,5
Granica dla σ
σ = √37,01 = 6,084 µm
Odpowiedź
σ = 6,084 µm
Przedział 95 % dla σ: [6,084, 11,68] µm.
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 3,009
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Wariancja łączna
sp² = (13·3,5² + 7·10,5²)/20 = 46,55
sp = 6,823
Błąd standardowy
SE = 6,823·√(1/14 + 1/8) = 3,024
Statystyka testowa
t = (34 − 24,9)/3,024 = 3,009
Odpowiedź
t = 3,009
Przy df = 20 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,086; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 664
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (2,576·5/0,5)² = 663,6
Zaokrąglij w górę
n = 664
Odpowiedź
n = 664
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9922
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 62/5 = 12,4
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84
Syy = Σ(y − ȳ)² = 179,2
Współczynnik korelacji
r = 84/√(40·179,2) = 0,9922
Odpowiedź
r = 0,9922
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = −2,8
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 72/5 = 14,4
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88
Prosta regresji
b = 88/40 = 2,2
a = 14,4 − 2,2·6 = 1,2
ŷ = 1,2 + 2,2·x
Wartość przewidywana
ŷ = 1,2 + 2,2·3 = 7,8
Reszta
e = 5 − 7,8 = −2,8
Odpowiedź
e = −2,8
Punkt leży pod prostą.
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.