Inwestujesz €5 000 przy nominalnej stopie 3,6 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 5 latach.
PV = €5 0003,6% / 4n = 5
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Na początku każdego roku przez 11 lat wpłacasz €1 000, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 3 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 11? Wyznacz FV.
A = €1 000i = 3%n = 11
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €60 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €20 000, €30 000, €30 000, €20 000. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €26 000, €24 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −40 000CF1 = 26 000CF2 = 24 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 7 latach. Rentowność do wykupu wynosi 7% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 3%YTM = 7%n = 7
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% i zapada za 5 lat. Rentowność do wykupu wynosi 9%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.
F = €1 000kupon = 8%n = 5YTM = 9%
D = lata
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stopa podatkowa 25,8%. Wyznacz WACC.
Spółka ma 1 000 000 akcji po €22,50 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €1 020 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4%, a stopa podatkowa 25,8%. Współczynnik beta akcji to 1,5, stopa wolna od ryzyka 2%, a stopa zwrotu z rynku 6,5%. Wyznacz WACC.
β = 1,5rf = 2%rm = 6,5%rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
9.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 24, 58, 30, 54, 18.
n = 5
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 75. Jaka część P wartości leży poniżej 593,8?
μ = 500σ = 75x = 593,8
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 5
P =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 9 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,3, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?
n = 9p = 0,3k = 3
P =
13.Rozkład normalnyŚredni
X ma rozkład normalny ze średnią 12 min i odchyleniem standardowym 1,5 min; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 20 min i odchyleniem standardowym 2 min. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 30,8 min. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 30,8 min
P =
14.Rozkład normalnyTrudny
Wzrost X mężczyzn i wzrost Y kobiet w grupie są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 180 cm i odchylenie standardowe 10 cm, Y ma średnią 170 cm i odchylenie standardowe 12 cm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 6 elementów ma średnią 65 i odchylenie standardowe s = 7. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 6x̄ = 65s = 799%t(5) = 4,032
górna granica =
16.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 25 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 10,6 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 24 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 12,401, a 2,5 % powyżej 39,364.
n = 25s = 10,6 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 14 uczniów, średni wynik 99,5, odchylenie standardowe 4. Grupa 2: 7 uczniów, średni wynik 103,4, odchylenie standardowe 2. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).
n₁ = 14x̄₁ = 99,5s₁ = 4n₂ = 7x̄₂ = 103,4s₂ = 2
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5? Odchylenie standardowe wynosi 15. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 15E = 1,590%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 6
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 11.
n = 6x = 11
ŷ =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 5981 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik renty zwykłej
((1 + 0,03)11 − 1)/0,03 = 12,81
Renta płatna z góry
Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.
FV = 1 000·12,81·1,03 = €13 192,03
Odpowiedź
FV = €13 192,03
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 19175 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 20 000/1,1 = 18 181,82
CF2/(1 + 0,1)2 = 30 000/1,21 = 24 793,39
CF3/(1 + 0,1)3 = 30 000/1,331 = 22 539,44
CF4/(1 + 0,1)4 = 20 000/1,464 = 13 660,27
Zsumuj
NPV = €19 174,92
Odpowiedź
NPV = €19 174,92
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 17,24 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(15%) = 1 134,22
NPV(20%) = −1 319,44
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €15,00, i = 0,035, N = 14
Wartość bieżąca kuponów
€15,00·(1 − 0,6178)/0,035 = €163,81
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,6178 = €617,78
Cena
P = €781,59
Odpowiedź
P = €781,59
Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: D = 4,297 lata
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Wartość bieżąca każdego przepływu
t = 1: 80/1,09 = 73,39, t·PV = 73,39
t = 2: 80/1,188 = 67,33, t·PV = 134,67
t = 3: 80/1,295 = 61,77, t·PV = 185,32
t = 4: 80/1,412 = 56,67, t·PV = 226,70
t = 5: 1080/1,539 = 701,93, t·PV = 3 509,63
Duration
P = 961,10
D = 4 129,71/961,10 = 4,297
Odpowiedź
D = 4,297 lata
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 10,77 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 1,25
Tablica rozkładu normalnego
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Odpowiedź
P = 0,8944
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,5981
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Odpowiedź
P = 0,5981
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,2668
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standaryzuj
z = (30,8 − 32)/2,5 = −0,48
Górny ogon
P = 1 − Φ(−0,48) = 1 − 0,3156 = 0,6844
Odpowiedź
P = 0,6844
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,7389
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standaryzuj
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Odpowiedź
P = 0,7389
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 76,52
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 5, t = 4,032
Margines błędu
E = 4,032·7/√6 = 11,52
Przedział
65 ± 11,52 → [53,48, 76,52]
Odpowiedź
górna granica = 76,52
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 8,277 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 24·10,6² = 2697
Granice dla σ²
2697/39,364 = 68,51
2697/12,401 = 217,5
Granica dla σ
σ = √68,51 = 8,277 µm
Odpowiedź
σ = 8,277 µm
Przedział 95 % dla σ: [8,277, 14,75] µm.
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −2,411
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Wariancja łączna
sp² = (13·4² + 6·2²)/19 = 12,21
sp = 3,494
Błąd standardowy
SE = 3,494·√(1/14 + 1/7) = 1,618
Statystyka testowa
t = (99,5 − 103,4)/1,618 = −2,411
Odpowiedź
t = −2,411
Przy df = 19 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,093; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 271
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (1,645·15/1,5)² = 270,6
Zaokrąglij w górę
n = 271
Odpowiedź
n = 271
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9742
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 97/6 = 16,17
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 126,8
Współczynnik determinacji
r² = −46,5²/(17,5·126,8) = 0,9742
Odpowiedź
r² = 0,9742
Około 97,42% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 29,96
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 117/6 = 19,5
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 183
Prosta regresji
b = 183/70 = 2,614
a = 19,5 − 2,614·7 = 1,2
ŷ = 1,2 + 2,614·x
Prognoza
ŷ = 1,2 + 2,614·11 = 29,96
Odpowiedź
ŷ = 29,96
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.