Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 24 % rocznie z kapitalizacją dziennie. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 24%m = 365

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €12 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 4 lat. Oprocentowanie wynosi 3,6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €12 0003,6% / 12N = 48

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €20 000, €29 000, €27 000, €28 000. Koszt kapitału wynosi 15 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 15%CF₀ = −75 000CF₁ = 20 000CF₂ = 29 000CF₃ = 27 000CF₄ = 28 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje dziś €80 000. Jego przepływ wynosi €10 000 na koniec roku 1 i rośnie o 5 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 8. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €10 000g = 5%n = 8r = 8%

NPV = €

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 8 latach. Rentowność do wykupu wynosi 2,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 5%YTM = 2,5%n = 8

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 8 lat. Kosztuje €869. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.

F = €1 000kupon = 3% (2×)n = 8P = €869

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €6 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.

E = €6 000 000D = €1 000 000r_e = 14%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 4 000 000 akcji po €49,50 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3%, a stopa podatkowa 28%. Współczynnik beta akcji to 1,5, stopa wolna od ryzyka 4%, a stopa zwrotu z rynku 11%. Wyznacz WACC.

β = 1,5r_f = 4%r_m = 11%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 19, 24, 46, 59, 20, 25, 43.

n = 7

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży poniżej 104,8?

μ = 100σ = 8x = 104,8

P =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

Var(X) =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 9 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 9p = 0,5

P =

13.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 62 a 67 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 65σ = 10x₁ = 62x₂ = 67

P =

14.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 75% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 65 pktσ = 10 pkt75%

x = pkt

15.Przedziały ufnościŚredni

Próba 9 elementów ma średnią 13 i odchylenie standardowe s = 14,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 9x̄ = 13s = 14,590%t(8) = 1,86

górna granica =

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 18. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?

σ = 18E = 299%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 49 studentów ma średni wynik 48 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48s = 10n = 49

t =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 1,5 jednostek z mocą 80 %. Odchylenie standardowe wynosi 7. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,01moc = 80%δ = 1,5σ = 7z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5Σx = 30Σy = 232Σx² = 220Σy² = 11146Σxy = 1514

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (9, 22). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(9, 22)

e =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 27,11 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,24/365 = 0,0006575

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,0006575)³⁶⁵ − 1 = 1,271 − 1 = 27,11%

Odpowiedź

EAR = 27,11%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 268,8 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·4 = 48

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,8661

A = 12 000·0,003/(1 − 0,8661) = €268,81

Odpowiedź

A = €268,81

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −1919 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 20 000/1,15 = 17 391,30

CF₂/(1 + 0,15)² = 29 000/1,322 = 21 928,17

CF₃/(1 + 0,15)³ = 27 000/1,521 = 17 752,94

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 28 000/1,749 = 16 009,09

Zsumuj

NPV = €−1 918,50

Odpowiedź

NPV = €−1 918,50

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −12741 €

Wartość bieżąca renty rosnącej

((1,05)/(1,08))⁸ = 0,7982

PV = 10 000/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,7982) = 67 258,93

NPV

NPV = 67 258,93 − 80 000 = −€12 741,07

Odpowiedź

NPV = −€12 741,07

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1180 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €25,00, i = 0,0125, N = 16

Wartość bieżąca kuponów

€25,00·(1 − 0,8197)/0,0125 = €360,51

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,8197 = €819,75

Cena

P = €1 180,25

Odpowiedź

P = €1 180,25

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 5,007 %

Na okres

C = €15,00, N = 16

Rozwiąż numerycznie

i = 2,504% na półrocze

YTM

YTM = 2·2,504% = 5,007%

Odpowiedź

YTM = 5,007%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 12,34 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429

WACC

WACC = 0,8571·14% + 0,1429·3%·(1 − 0,21) = 12,34%

Odpowiedź

WACC = 12,34%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 14,21 %

Wartości rynkowe

E = 4 000 000·€49,50 = €198 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 4% + 1,5·7% = 14,5%

Wagi

V = €202 800 000, E/V = 0,9763, D/V = 0,02367

WACC

WACC = 0,9763·14,5% + 0,02367·3%·(1 − 0,28) = 14,21%

Odpowiedź

WACC = 14,21%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 15,55

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 236/7 = 33,71

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−14,71)² + (−9,714)² + 12,29² + 25,29² + (−13,71)² + (−8,714)² + 9,286² = 1451

Odchylenie standardowe

s = √(1451/6) = 15,55

Odpowiedź

s = 15,55

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,7257

Standaryzuj

z = 0,6

Tablica rozkładu normalnego

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Odpowiedź

P = 0,7257

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 0,6475

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Wariancja

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

Odpowiedź

Var(X) = 0,6475

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,01953

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,5⁹ = 0,001953

P(X = 1) = 9·0,5·0,5⁸ = 0,01758

Dodaj

P = 0,001953 + 0,01758 = 0,01953

Odpowiedź

P = 0,01953

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,1972

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (62 − 65)/10 = −0,3

z₂ = (67 − 65)/10 = 0,2

Pole pomiędzy

P = Φ(0,2) − Φ(−0,3) = 0,5793 − 0,3821 = 0,1972

Odpowiedź

P = 0,1972

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 58,3 pkt

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,25

z z tablicy

z ≈ −0,67

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 65 − 0,67·10 = 58,3 pkt

Odpowiedź

x = 58,3 pkt

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 21,99

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Margines błędu

E = 1,86·14,5/√9 = 8,99

Przedział

13 ± 8,99 → [4,01, 21,99]

Odpowiedź

górna granica = 21,99

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 538

Wyznacz n

n = (2,576·18/2)² = 537,5

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 538

Odpowiedź

n = 538

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,4

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429

Statystyka testowa

t = (48 − 50)/1,429 = −1,4

Odpowiedź

t = −1,4

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 219

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((2,326 + 0,842)·7/1,5)² = 218,6

Zaokrąglij w górę

n = 219

Odpowiedź

n = 219

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,988

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 1514 − 30·232/5 = 122

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 11146 − 232²/5 = 381,2

Współczynnik korelacji

r = 122/√(40·381,2) = 0,988

Odpowiedź

r = 0,988

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 4,3

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 60/5 = 12

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76

Prosta regresji

b = 76/40 = 1,9

a = 12 − 1,9·6 = 0,6

ŷ = 0,6 + 1,9·x

Wartość przewidywana

ŷ = 0,6 + 1,9·9 = 17,7

Reszta

e = 22 − 17,7 = 4,3

Odpowiedź

e = 4,3

Punkt leży nad prostą.

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income