Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €8 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 1 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 3 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €8 000g = 1%r = 3%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Za 7 lat chcesz mieć €30 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.
FV = €30 0004,8% / 12N = 84
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €500 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €59 000, a potem przepływ rośnie o 3 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €500 000CF1 = €59 000g = 3%r = 12%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje dziś €50 000. Jego przepływ wynosi €5 500 na koniec roku 1 i rośnie o 2 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 9. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €50 000CF1 = €5 500g = 2%n = 9r = 10%
NPV = €
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 3 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 2%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 2,5%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 1,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 2%n = 3y0 = 2,5%y1 = 1,5%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 4% zostanie wykupiona po 10 latach, a jej cena wynosi €1 130. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 4%n = 10P = €1 130
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Akcja o becie 0,9 ma wymaganą stopę zwrotu 5,55%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 1,5%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku rm implikuje CAPM?
β = 0,9re = 5,55%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM i WACCTrudny
Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €6 000 000 i koszcie 9%. Jej dług stanowi 8 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4%, 9 lat do wykupu), notowanych po €1 078 za sztukę. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 38, 25, 22, 20, 23, 39, 42.
n = 7
s =
10.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży powyżej 20?
μ = 60σ = 20x = 20
P =
11.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,35, 0,15, 0,15
Var(X) =
12.PrawdopodobieństwoTrudny
Gra kosztuje €1. Wygrywasz €5 z prawdopodobieństwem 0,2 i €10 z prawdopodobieństwem 0,02; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.
stawka = €1€5: p = 0,2€10: p = 0,02
E(G) = €
13.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,2420. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,2420
z =
14.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 5% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 178 cmσ = 7 cm5%
x = cm
15.Przedziały ufnościŚredni
Próba 21 elementów ma średnią 49,5 i odchylenie standardowe s = 16,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 21x̄ = 49,5s = 16,595%t(20) = 2,086
dolna granica =
16.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 18. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 5?
σ = 18E = 595%
n =
17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 36 studentów ma średni wynik 195,3 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 195,3s = 20n = 36
t =
18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 95 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3? Odchylenie standardowe wynosi 10. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 10E = 395%
n =
19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 5
r² =
20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 3.
n = 6x = 3
ŷ =
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 400000 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość przepływów
PV = 59 000/(0,12 − 0,03) = 655 555,56
NPV
NPV = 655 555,56 − 500 000 = €155 555,56
Odpowiedź
NPV = €155 555,56
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −16095 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca renty rosnącej
((1,02)/(1,1))9 = 0,5068
PV = 5 500/(0,1 − 0,02)·(1 − 0,5068) = 33 905,03
NPV
NPV = 33 905,03 − 50 000 = −€16 094,97
Odpowiedź
NPV = −€16 094,97
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: HPR = 4,47 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Rynkowa premia za ryzyko
rm − rf = (5,55% − 1,5%)/0,9 = 4,5%
Stopa zwrotu z rynku
rm = 1,5% + 4,5% = 6%
Odpowiedź
rm = 6%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 5,089 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Odpowiedź
P = 0,9772
11.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: Var(X) = 1,09
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Średnia
μ = 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,15 + 4·0,15 = 2,1
Średnia kwadratów
E(X²) = 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,15 + 16·0,15 = 5,5
Wariancja
Var(X) = 5,5 − 2,1² = 1,09
Odpowiedź
Var(X) = 1,09
12.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: E(G) = 0,2 €
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Wyniki netto
G: 4 (p = 0,2), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,78)
Wartość oczekiwana
E(G) = 4·0,2 + 9·0,02 − 1·0,78 = 0,2 €
Odpowiedź
E(G) = 0,2 €
Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.
13.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = 0,7
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = 1 − 0,2420 = 0,7580
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,7580 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 0,70
Odpowiedź
z = 0,70
14.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 189,5 cm
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,95
z z tablicy
z ≈ 1,64
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 178 + 1,64·7 = 189,5 cm
Odpowiedź
x = 189,5 cm
15.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 41,99
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 20, t = 2,086
Margines błędu
E = 2,086·16,5/√21 = 7,511
Przedział
49,5 ± 7,511 → [41,99, 57,01]
Odpowiedź
dolna granica = 41,99
16.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 50
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,96·18/5)² = 49,79
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 50
Odpowiedź
n = 50
17.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −1,41
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333
Statystyka testowa
t = (195,3 − 200)/3,333 = −1,41
Odpowiedź
t = −1,41
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
18.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 43
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (1,96·10/3)² = 42,68
Zaokrąglij w górę
n = 43
Odpowiedź
n = 43
19.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9089
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 264/5 = 52,8
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45
Syy = Σ(y − ȳ)² = 222,8
Współczynnik determinacji
r² = 45²/(10·222,8) = 0,9089
Odpowiedź
r² = 0,9089
Około 90,89% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
20.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 7,919
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 113/6 = 18,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 191
Prosta regresji
b = 191/70 = 2,729
a = 18,83 − 2,729·7 = −0,2667
ŷ = −0,2667 + 2,729·x
Prognoza
ŷ = −0,2667 + 2,729·3 = 7,919
Odpowiedź
ŷ = 7,919
To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.