Ćwiczenia z metod ilościowych i instrumentów dłużnych do CFA Level I: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 8 lat potrzebujesz €50 000. Konto daje 4,8 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €50 0004,8% / 4n = 8

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €250 na koniec każdego miesiąca przez 7 lat. Konto daje 7,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €2507,2% / 12N = 84

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €40 000. Przynosi €8 000 na koniec każdego roku przez 5 lat, a potem można ją sprzedać za €6 000. Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €40 000CF = €8 000S = €6 000n = 5r = 6%

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Inwestycja €80 000 przynosi €23 000 na koniec każdego roku przez 4 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

C₀ = €80 000CF = €23 000n = 4

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 6 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 2%YTM = 3,5%n = 6

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 5% zostanie wykupiona po 8 latach, a jej cena wynosi €1 140. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 5%n = 8P = €1 140

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,6. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 4,5%, a stawka podatku 21%. Wyznacz WACC.

D/E = 0,6r_e = 13%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Akcje firmy mają betę 1,5 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,5. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 1,25. Stawka podatku wynosi 25,8%, stopa wolna od ryzyka 2%, a rynkowa premia za ryzyko 4%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e po zmianie.

β_L = 1,5D/E₁ = 0,5D/E₂ = 1,25T = 25,8%r_f = 2%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 55, 53, 32, 18, 49.

n = 5

s =

10.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży powyżej 56,25?

μ = 50σ = 5x = 56,25

P =

11.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,15, 0,3, 0,2

σ =

12.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 9 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 9p = 0,4

P =

13.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,8132. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,8132

z =

14.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 85% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 65 pktσ = 10 pkt85%

x = pkt

15.Przedziały ufnościŚredni

U 16 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią −2 i odchylenie standardowe 3,1. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.

n = 16d̄ = −2s_d = 3,199%t(15) = 2,947

górna granica = mmHg

16.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 34. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?

σ = 34E = 199%

n =

17.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 30 części ma średnią długość 53,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 5 mm. Linia 2: próba 50 części ma średnią 57,3 mm, znane odchylenie standardowe 9 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).

n₁ = 30x̄₁ = 53,5 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 50x̄₂ = 57,3 mmσ₂ = 9 mm

z =

18.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5? Odchylenie standardowe wynosi 5. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 5E = 1,590%

n =

19.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

20.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 18?

n = 6ŷ = 18

x =

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 34135 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,048/4 = 0,012

N = 4·8 = 32

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,465 = €34 134,50

Odpowiedź

PV = €34 134,50

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 27202 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·7 = 84

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,653 − 1)/0,006 = €27 201,60

Odpowiedź

FV = €27 201,60

Sam wpłaciłeś €21 000; reszta to odsetki.

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −1818 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca rocznych przepływów

8 000·4,212 = 33 698,91

Wartość bieżąca wartości końcowej

6 000/1,338 = 4 483,55

NPV

NPV = −40 000 + 33 698,91 + 4 483,55 = −€1 817,54

Odpowiedź

NPV = −€1 817,54

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 5,835 %

Wymagany współczynnik renty

(1 − (1 + i)⁻⁴)/i = 80 000/23 000 = 3,478

Wyznacz stopę

Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.

i = 5%: 3,546

i = 6%: 3,465

IRR = 5,835%

Odpowiedź

IRR = 5,835%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 919,5 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €10,00, i = 0,0175, N = 12

Wartość bieżąca kuponów

€10,00·(1 − 0,8121)/0,0175 = €107,40

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,8121 = €812,06

Cena

P = €919,45

Odpowiedź

P = €919,45

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 3,005 %

Równanie dla rentowności

€1 140 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Rozwiąż numerycznie

P(3%) = €1 140,39, P(4%) = €1 067,33

YTM = 3,005%

Odpowiedź

YTM = 3,005%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,458 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi z D/E

E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625

D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375

WACC

WACC = 0,625·13% + 0,375·4,5%·(1 − 0,21) = 9,458%

Odpowiedź

WACC = 9,458%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 10,44 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Usuń dźwignię z bety

β_U = 1,5/(1 + 0,742·0,5) = 1,094

Zlewaruj ponownie przy nowym D/E

β_L = 1,094·(1 + 0,742·1,25) = 2,109

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2% + 2,109·4% = 10,44%

Odpowiedź

r_e = 10,44%

9.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 15,92

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 207/5 = 41,4

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 13,6² + 11,6² + (−9,4)² + (−23,4)² + 7,6² = 1013

Odchylenie standardowe

s = √(1013/4) = 15,92

Odpowiedź

s = 15,92

10.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,1056

Standaryzuj

z = 1,25

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Odpowiedź

P = 0,1056

11.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 2,304

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,35 + 2·0,15 + 4·0,3 + 6·0,2 = 2,7

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,15 + 16·0,3 + 36·0,2 = 12,6

Wariancja

Var(X) = 12,6 − 2,7² = 5,31

σ = √5,31 = 2,304

Odpowiedź

σ = 2,304

12.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,07054

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,6⁹ = 0,01008

P(X = 1) = 9·0,4·0,6⁸ = 0,06047

Dodaj

P = 0,01008 + 0,06047 = 0,07054

Odpowiedź

P = 0,07054

13.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,32

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,8132)/2 = 0,9066

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9066 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,32

Odpowiedź

z = 1,32

14.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 54,6 pkt

Pole po lewej

Φ(z) = 0,15

z z tablicy

z ≈ −1,04

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 65 − 1,04·10 = 54,6 pkt

Odpowiedź

x = 54,6 pkt

15.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 0,2839 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 15, t = 2,947

Margines błędu

E = 2,947·3,1/√16 = 2,284

Przedział

−2 ± 2,284 → [−4,284, 0,2839]

Odpowiedź

górna granica = 0,2839 mmHg

16.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 7671

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (2,576·34/1)² = 7671

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 7671

Odpowiedź

n = 7671

17.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −2,426

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Błąd standardowy różnicy

SE = √(5²/30 + 9²/50) = √2,453 = 1,566

Statystyka testowa

z = (53,5 − 57,3)/1,566 = −2,426

Odpowiedź

z = −2,426

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

18.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 31

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Wyznacz n

n = (1,645·5/1,5)² = 30,07

Zaokrąglij w górę

n = 31

Odpowiedź

n = 31

19.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9973

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 437/6 = 72,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 409

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2403

Współczynnik korelacji

r = 409/√(70·2403) = 0,9973

Odpowiedź

r = 0,9973

20.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 7,664

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 101/6 = 16,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 123

Prosta regresji

b = 123/70 = 1,757

a = 16,83 − 1,757·7 = 4,533

ŷ = 4,533 + 1,757·x

Wyznacz x

x = (18 − 4,533)/1,757 = 7,664

Odpowiedź

x = 7,664

To niezależne materiały do ćwiczeń. ExamProblems nie jest powiązane z organizacją przeprowadzającą ten egzamin ani przez nią rekomendowane, a nazwa egzaminu służy wyłącznie do opisu treści. CFA® and Chartered Financial Analyst® są znakami towarowymi CFA Institute, organizacji niezwiązanej z ExamProblems, która go nie popiera i nie odpowiada za jego poprawność.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income